Shpërndarja Lévy

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja Lévy, e quajtur sipas Paul Lévy, është një shpërndarje e vazhduar probabiliteti për një ndryshore të rastit jo-negative. Në spektroskopi, kjo shpërndarje, me frekuencë si ndryshore e varur, njihet si një profil van der Waals . Është një rast i veçantë i shpërndarjes inverse-gama . Është një shpërndarje e qëndrueshme .

Përkufizimi

Funksioni i dendësisë së probabilitetit të shpërndarjes Lévy mbi domenin $x\ge \mu$ është

$f(x;\mu ,c)=\sqrt{\frac{c}{2\pi }}\frac{e^{-\frac{c}{2(x-\mu )}}}{(x-\mu {)}^{3/2}}$

ku $\mu$ është parametri i vendndodhjes dhe $c$ është parametri i shkallës . Funksioni i shpërndarjes mbledhëse është

$F(x;\mu ,c)=\text{erfc}\left(\sqrt{\frac{c}{2(x-\mu )}}\right)=2-2\mathrm{\Phi }\left(\sqrt{\frac{c}{(x-\mu )}}\right)$

ku $\text{erfc}(z)$ është funksioni i gabimit plotësues dhe $\mathrm{\Phi }(x)$ është Funksioni i Laplasit. Parametri i zhvendosjes $\mu$ ka efektin e zhvendosjes së kurbës djathtas me një madhësi $\mu$, dhe ndryshimin e bashkësisë së përcaktimit në intervalin [ $\mu$, $\mathrm{\infty }$ ). Ashtu si të gjitha shpërndarjet e qëndrueshme, shpërndarja Levy ka një formë standarde f(x;0,1) e cila ka vetinë e mëposhtme:

$f(x;\mu ,c)dx=f(y;0,1)dy$

ku y përkufizohet si

$y=\frac{x-\mu }{c}$

Funksioni karakteristik i shpërndarjes Lévy jepet nga

$\phi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-\sqrt{-2ict}}.$

Vini re se funksioni karakteristik mund të shkruhet gjithashtu në të njëjtën formë të përdorur për shpërndarjen e qëndrueshme me $\alpha =1/2$ dhe $\beta =1$ :

$\phi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct{|}^{1/2}(1-i\text{sign}(t))}$

Duke supozuar $\mu =0$, momenti i n i shpërndarjes së pazhvendosur Lévy përcaktohet nga:

$m_n\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sqrt{\frac{c}{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-c/2x}{x}^n}{x^{3/2}}dx$

e cila ndryshon për të gjithë $n\ge 0.5$ në mënyrë që momentet e plota të shpërndarjes Lévy të mos ekzistojnë.

Shpërndarja standarde Lévy plotëson kushtin e të qenit e qëndrueshme

$(X_1+X_2+\cdots +X_n)\sim n^{1/\alpha }X$ ,

ku $X_1,X_2,\dots ,X_n,X$ janë ndryshore standarde të pavarura Lévy me $\alpha =1/2$ .

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Nëse $X\sim \text{Levy}(\mu ,c)$ atëherë $kX+b\sim \text{Levy}(k\mu +b,kc)$
• Nëse $X\sim \text{Levy}(0,c)$ atëherë $X\sim \text{Inv-Gamma}(\frac{1}{2},\frac{c}{2})$ ( shpërndarja e anasjelltë gama ). Këtu, shpërndarja Lévy është një rast i veçantë i një shpërndarjeje të tipit V Pearson
• Nëse $Y\sim \text{Normal}(\mu ,{\sigma }^2)$ ( Shpërndarja normale ) atëherë ${(Y-\mu )}^{-2}\sim \text{Levy}(0,1/{\sigma }^2)$
• Nëse $X\sim \text{Normal}(\mu ,\frac{1}{\sqrt{\sigma }})$ atëherë ${(X-\mu )}^{-2}\sim \text{Levy}(0,\sigma )$
• Nëse $X\sim \text{Levy}(\mu ,c)$ atëherë $X\sim \text{Stable}(1/2,1,c,\mu )$ ( Shpërndarje e qëndrueshme )
• Nëse $X\sim \text{Levy}(0,c)$ atëherë $X\sim \text{Scale-inv-}{\chi }^2(1,c)$ ( Shpërndarja e shkallëzuar-inverse-chi-katrore )
• Nëse $X\sim \text{Levy}(\mu ,c)$ atëherë ${(X-\mu )}^{-\frac{1}{2}}\sim \text{FoldedNormal}(0,1/\sqrt{c})$ ( Shpërndarja normale e palosur )

Zbatimet

• Frekuenca e përmbysjeve gjeomagnetike duket se ndjek një shpërndarje Lévy
• Koha e goditjes së një pike të vetme, në distancë $\alpha$ nga pika e fillimit, nga lëvizja Brauniane ndjek shpërndarjen Lévy me $c={\alpha }^2$ . (Për një lëvizje Brauniane me zhvendosje, këtë herë mund të ndjekë një shpërndarje të anasjelltë Gaussian, e cila ka shpërndarjen Lévy si kufi. )
• Gjatësia e shtegut të ndjekur nga një foton në një mjedis të turbullt ndjek shpërndarjen Lévy.
• Një proces Cauchy mund të përkufizohet si një lëvizje Brauniane e varur nga një proces i lidhur me një shpërndarje Lévy.