Shpërndarja Pareto

Shpërndarja Pareto, e emërtuar sipas inxhinierit të ndërtimit, ekonomistit dhe sociologut italian Vilfredo Pareto, është një shpërndarje probabiliteti që përdoret në përshkrimin e dukurive të vëzhgueshme sociale, kontrollit të cilësisë, shkencore, gjeofizike, aktuariale dhe shumë llojeve të tjera; parimi i zbatuar fillimisht për të përshkruar shpërndarjen e pasurisë në një shoqëri, duke iu përshtatur prirjes që një pjesë e madhe e pasurisë të mbahet nga një pjesë e vogël e popullsisë. Parimi Pareto ose "rregulli 80-20" që thotë se 80% e rezultateve janë për shkak të 20% të shkaqeve u emërtua për nder të Paretos, por konceptet janë të dallueshme dhe vetëm shpërndarjet Pareto me vlerë të formës ( $\alpha$ ) rreth ₄ 5 ≈ 1.16 pasqyrojnë saktësisht atë. Vëzhgimi empirik ka treguar se kjo shpërndarje 80-20 përshtatet me një gamë të gjerë rastesh, duke përfshirë fenomenet natyrore dhe aktivitetet njerëzore.

Përkufizimet

Nëse $X$ është një ndryshore e rastit me një shpërndarje Pareto, atëherë probabiliteti që $X$ është më i madh se një numër $x$, pra funksioni i mbijetesës (i quajtur edhe funksioni i bishtit), jepet nga

$\bar{F}(x)=\mathrm{Pr}(X>x)=\{\begin{array}{cc}{\left(\frac{x_{\mathrm{m}}}{x}\right)}^{\alpha }& x\ge x_{\mathrm{m}},\\ 1& x<x_{\mathrm{m}},\end{array}$

ku $x_m$ është vlera minimale e mundshme (domosdoshmërisht pozitive) e $X$, dhe $\alpha$ është një parametër pozitiv. Shpërndarja Pareto Lloji I karakterizohet nga një parametër i shkallës $x_m$ dhe një parametër i formës $\alpha$, i cili njihet si indeksi i bishtit . Kur kjo shpërndarje përdoret për të modeluar shpërndarjen e pasurisë, atëherë parametri $\alpha$ quhet indeksi Pareto .

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Nga përkufizimi, funksioni mbledhës i shpërndarjes së një ndryshoreje të rastit Pareto me parametra $\alpha$ dhe $x_m$ është

$F_X(x)=\{\begin{array}{cc}1-{\left(\frac{x_{\mathrm{m}}}{x}\right)}^{\alpha }& x\ge x_{\mathrm{m}},\\ 0& x<x_{\mathrm{m}}.\end{array}$

Funksioni i densitetit të probabilitetit

Nga kjo rrjedh (me diferencim ) se funksioni i dendësisë së probabilitetit është

$f_X(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\alpha x_{\mathrm{m}}^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}& x\ge x_{\mathrm{m}},\\ 0& x<x_{\mathrm{m}}.\end{array}$

Vetitë

Momentet dhe funksioni karakteristik

• Pritja matematike e një ndryshoreje rasti që ndjek një shpërndarje Pareto është

$\mathrm{E}(X)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& \alpha \le 1,\\ \frac{\alpha x_{\mathrm{m}}}{\alpha -1}& \alpha >1.\end{array}$

• Varianca e një ndryshoreje të rastit që ndjek një shpërndarje Pareto është

$\mathrm{Var}(X)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& \alpha \in (1,2],\\ {\left(\frac{x_{\mathrm{m}}}{\alpha -1}\right)}^2\frac{\alpha }{\alpha -2}& \alpha >2.\end{array}$

(Nëse $\alpha \le 1$, varianca nuk ekziston. )

• Momentet e papërpunuara janë

${{\mu }_n}^{\prime }=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty }& \alpha \le n,\\ \frac{\alpha x_{\mathrm{m}}^n}{\alpha -n}& \alpha >n.\end{array}$

• Funksioni gjenerues i momentit përcaktohet vetëm për vlerat jo pozitive $t\le 0$ si

$M(t;\alpha ,x_{\mathrm{m}})=\mathrm{E}\left[e^{tX}\right]=\alpha (-x_{\mathrm{m}}t{)}^{\alpha }\mathrm{\Gamma }(-\alpha ,-x_{\mathrm{m}}t)$

$M(0,\alpha ,x_{\mathrm{m}})=1.$

• Funksioni karakteristik jepet nga

$\phi (t;\alpha ,x_{\mathrm{m}})=\alpha (-i{x}_{\mathrm{m}}t{)}^{\alpha }\mathrm{\Gamma }(-\alpha ,-i{x}_{\mathrm{m}}t),$

ku $\mathrm{\Gamma }(a,x)$ është funksioni i paplotë gama .

Mesatarja harmonike

Mesatarja harmonike ( H ) është

$H=x_{\text{m}}(1+\frac{1}{\alpha }).$

Lidhja me shpërndarjen eksponenciale

Shpërndarja Pareto lidhet me shpërndarjen eksponenciale si më poshtë. Nëse X është Pareto-shpërndarë me minimum x _m dhe indeks α, atëherë

$Y=\log \left(\frac{X}{x_{\mathrm{m}}}\right)$

shpërndahet në mënyrë eksponenciale me parametrin e shakllës  α . Në mënyrë ekuivalente, nëse Y shpërndahet në mënyrë eksponenciale me shpejtësi α, atëherë

$x_{\mathrm{m}}{e}^Y$

është Pareto-shpërndarë me minimum x _m dhe indeks α .

Më në përgjithësi, nëse $\lambda \sim \text{Gamma}(\alpha ,\beta )$ (parametizimi i shkallës së formës) dhe $\eta |\lambda \sim \text{Exp}(\lambda )$, atëherë $\beta +\eta \sim \text{Pareto}(\beta ,\alpha )$ .

Lidhja me shpërndarjen log-normale

Shpërndarja Pareto dhe shpërndarja log-normale janë shpërndarje alternative për përshkrimin e madhësive të së njëjtit lloj. Një nga lidhjet ndërmjet të dyjave është se ato janë të dyja shpërndarjet e eksponencialit të ndryshoreve të rastit të shpërndara sipas shpërndarjeve të tjera të zakonshme, përkatësisht shpërndarjes eksponenciale dhe shpërndarjes normale . (Shih seksionin e mëparshëm . )

Konkluzioni statistikor

Vlerësimi i parametrave

Funksioni i përgjasisë për parametrat e shpërndarjes Pareto α dhe x _m, duke pasur parasysh një mostër të pavarur $x=(x_1,x_2,...,x_n)$, është

$L(\alpha ,x_{\mathrm{m}})=\prod _{i=1}^n\alpha \frac{x_{\mathrm{m}}^{\alpha }}{x_i^{\alpha +1}}={\alpha }^n{x}_{\mathrm{m}}^{n\alpha }\prod _{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\alpha +1}}.$

Prandaj, funksioni logaritmik të përgjasisë është

$\ell (\alpha ,x_{\mathrm{m}})=n\ln \alpha +n\alpha \ln x_{\mathrm{m}}-(\alpha +1)\sum _{i=1}^n\ln x_i.$

Mund të shihet se $\ell (\alpha ,x_{\mathrm{m}})$ është në rritje monotonike me $x_m$, pra sa më e madhe të jetë vlera e $x_m$, aq më e madhe është vlera e funksionit të gjasave. Prandaj, meqenëse $x\ge x_m$, arrijmë në përfundimin se

${\hat{x}}_{\mathrm{m}}=\underset{i}{\min }{x}_i.$

Për të gjetur vlerësuesin për α, ne llogarisim derivatin e pjesshëm përkatës dhe përcaktojmë se ku është zero:

$\frac{\partial \ell }{\partial \alpha }=\frac{n}{\alpha }+n\ln x_{\mathrm{m}}-\sum _{i=1}^n\ln x_i=0.$

Kështu, vlerësuesi i përgjasisë maksimale për α është:

$\hat{\alpha }=\frac{n}{\sum _i\ln (x_i/{\hat{x}}_{\mathrm{m}})}.$

Gabimi statistikor i pritur është:

$\sigma =\frac{\hat{\alpha }}{\sqrt{n}}.$

Ndodhia dhe aplikimet

Të përgjithshme

Vilfredo Pareto fillimisht e përdori këtë shpërndarje për të përshkruar ndarjen e pasurisë midis individëve pasi dukej se tregonte mjaft mirë mënyrën se një pjesë më e madhe e pasurisë së çdo shoqërie zotërohet nga një përqindje më e vogël e njerëzve në atë shoqëri. Ai gjithashtu e përdori atë për të përshkruar shpërndarjen e të ardhurave. Kjo ide ndonjëherë shprehet më thjesht si parimi Pareto ose "rregulli 80-20" që thotë se 20% e popullsisë kontrollon 80% të pasurisë. Megjithatë, rregulli 80-20 korrespondon me një vlerë të veçantë të α, dhe në fakt, të dhënat e Paretos mbi tatimet britanike mbi të ardhurat në Cours d'économie politique tregojnë se rreth 30% e popullsisë kishte rreth 70% të të ardhurave.Grafiku i funksionit të dendësisë së probabilitetit (FDP) në fillim të këtij artikulli tregon se "probabiliteti" ose pjesa e popullsisë që zotëron një sasi të vogël pasurie për person është mjaft e lartë dhe më pas zvogëlohet në mënyrë të qëndrueshme me rritjen e pasurisë. (Sidoqoftë, shpërndarja Pareto nuk është realiste për pasurinë për pjesën e poshtme. Në fakt, vlera neto mund të jetë edhe negative. ) Kjo shpërndarje nuk kufizohet në përshkrimin e pasurisë ose të ardhurave, por në shumë situata në të cilat gjendet një baraspeshë në shpërndarjen e "të voglave" tek "të mëdhatë". Shembujt e mëposhtëm shihen ndonjëherë si të shpërndarë përafërsisht Pareto:

• Madhësitë e vendbanimeve njerëzore (pak qytete, shumë fshatra/fshatra)
• Shpërndarja e madhësisë së skedarit të trafikut të internetit që përdor protokollin TCP (shumë skedarë më të vegjël, pak më të mëdhenj)
• Shkalla e gabimit të diskut të ngurtë
• Grupet e kondensatës Bose-Einstein afër zeros absolute

• Vlerat e rezervave të naftës në fushat e naftës (disa fusha të mëdha, shumë fusha të vogla )
• Shpërndarja e gjatësisë në punët e caktuara për superkompjuterët (disa të mëdhenj, shumë të vegjël)
• Kthimet e standardizuara të çmimeve për aksionet individuale
• Madhësitë e grimcave të rërës
• Madhësia e meteoritëve
• Ashpërsia e humbjeve të mëdha të viktimave për linja të caktuara biznesi si përgjegjësia e përgjithshme, makina tregtare dhe kompensimi i punëtorëve.
• Sasia e kohës që një përdorues në Steam do të kalojë duke luajtur lojëra të ndryshme. (Disa lojëra luhen shumë, por shumica luhen pothuajse kurrë.) [1] 
• Në Besueshmërinë e Shpërndarjes së Ndërmarrjeve Elektrike (80% e minutave të ndërprera të klientit ndodhin në afërsisht 20% të ditëve në një vit të caktuar).