Shpërndarja e Bates

Në statistikën e biznesit dhe teorinë e probabilitetit, shpërndarja e Bates, e quajtur sipas Grace Bates, është një shpërndarje probabiliteti e mesatares së një numri ndryshoresh rasti statistikisht të pavarura të shpërndara në mënyrë uniforme në intervalin e njësisë . Kjo shpërndarje lidhet me shpërndarjen uniforme, trekëndore dhe normale Gausiane, dhe ka zbatime në inxhinierinë e transmetimit për përmirësimin e sinjalit. Shpërndarja Bates ndonjëherë ngatërrohet me shpërndarjen Irwin–Hall, e cila është shpërndarja e shumës (jo mesatares ) e n variablave të rastësishme të pavarura të shpërndara në mënyrë uniforme nga 0 në 1. Kështu, të dy shpërndarjet janë thjesht versione të njëra-tjetrës pasi ato ndryshojnë vetëm në shkallë.

Përkufizimi

Shpërndarja Bates është shpërndarja e vazhdueshme e probabilitetit të mesatares, X, të n ndryshoreve të rastit të pavarura, të shpërndara në mënyrë të njëtrajtshme në intervalin njësi, U _k :

$X=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{U}_k.$

Ekuacioni që përcakton funksionin e dendësisë së probabilitetit të një ndryshore rasti të shpërndarjes Bates X është

$f_X(x;n)=\frac{n}{2(n-1)!}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(nx-k{)}^{n-1}\mathrm{sgn}(nx-k)$

për x në intervalin (0,1), dhe zero diku tjetër. Këtu sgn( nx − k ) tregon funksionin e shenjës :

$\mathrm{sgn}(nx-k)=\{\begin{array}{cc}-1& nx<k\\ 0& nx=k\\ 1& nx>k.\end{array}$

Në përgjithësi, mesatarja e n ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara në mënyrë uniforme në intervalin [ a, b ]

$X_{(a,b)}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{U}_k(a,b).$

do të kishte funksionin e densitetit të probabilitetit (PDF) prej

$g(x;n,a,b)=\frac{1}{b-a}{f}_X(\frac{x-a}{b-a};n)\text{ for }a\le x\le b$

Pritja matematike e një ndryshore rasti X me ligj Bejtsi është:

$E[X]=\frac{a+b}{2}$

Nga ana tjetër varianca merret si:

$D[X]=\frac{(b-a{)}^2}{12n}$

Zgjerime dhe zbatime

Me disa modifikime, shpërndarja Bates përfshin shpërndarjen uniformë, trekëndëshe dhe, duke marrë kufirin kur n shkon në pafundësi, gjithashtu shpërndarjen normale gausiane .

Shpërndarja e studentit ofron një shtrirje natyrale të shpërndarjes normale gausiane për modelimin e të dhënave të bishtit të gjatë . Një shpërndarje Bates që është përgjithësuar siç u tha më parë përmbush të njëjtin qëllim për të dhënat e shkurtra .

Shpërndarja Bates ka një aplikim për formimin e rrezeve dhe sintezën e modeleve në fushën e inxhinierisë elektrike. U zbulua se shpërndarja rrit gjerësinë e rrezes së lobit kryesor, duke përfaqësuar një rritje në sinjalin e modelit të rrezatimit në një drejtim të vetëm, ndërsa njëkohësisht redukton nivelet, zakonisht të padëshirueshme, të lobit anësor .