Shpërndarja log-normale

Në teorinë e probabilitetit, një shpërndarje log-normale (ose lognormale ) është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti e një ndryshoreje të rastit logaritmi i së cilës shpërndahet normalisht . Kështu, nëse ndryshorja e rastit $X$ është e shpërndarë në mënyrë log-normale, atëherë $Y=\ln X$ ka një shpërndarje normale. Në mënyrë ekuivalente, nëse $Y$ ka një shpërndarje normale, atëherë funksioni eksponencial i $Y$, $X=e^Y$, ka një shpërndarje log-normale. Një ndryshore e rastit e cila shpërndahet log-normalisht merr vetëm vlera reale pozitive. Është një model i përshtatshëm dhe i dobishëm për matjet në shkencat ekzakte dhe inxhinierike, si dhe mjekësi, ekonomi dhe tema të tjera (p.sh., energjitë, përqendrimet, gjatësitë, çmimet e instrumenteve financiare dhe metrika të tjera).

Shpërndarja përmendet herë pas here si shpërndarja Galton ose shpërndarja e Galtonit, pas Francis Galton. Shpërndarja log-normale është shoqëruar edhe me emra të tjerë, si McAlister, Gibrat dhe Cobb-Douglas .

Një proces log-normal është realizimi statistikor i produktit shumëzues të shumë ndryshoreve të rastit të pavarura, secila prej të cilave është pozitive. Kjo justifikohet duke marrë parasysh teoremën qëndrore limite në domenin logaritmik (nganjëherë quhet ligji i Gibratit ). Shpërndarja log-normale është shpërndarja maksimale e probabilitetit të entropisë për një variacion të rastit X — për të cilin është specifikuar mesatarja dhe varianca e $\ln (X)$ .

Përkufizimet

Gjenerimi dhe parametrat

Le $Z$ të jetë një ndryshore normale standarde dhe le të jetë $\mu$ dhe $\sigma >0$ të jenë dy numra realë. Pastaj, shpërndarja e ndryshores së rastit

$X=e^{\mu +\sigma Z}$

quhet shpërndarja log-normale me parametra $\mu$ dhe $\sigma$ . Këto janë pritja matematike (ose mesatarja ) dhe shmangia standarde e logaritmit natyror të ndryshores, jo pritshmëria dhe devijimi standard i $X$ vetë.

Lidhja ndërmjet shpërndarjes normale dhe log-normale. Nëse $Y=\mu +\sigma Z$ atëherë shpërndahet normalisht $X\sim e^Y$ shpërndahet log-normalisht.

Kjo marrëdhënie është e vërtetë pavarësisht nga baza e funksionit logaritmik ose eksponencial: nëse ${\log }_a(X)$ shpërndahet normalisht, atëherë kështu është ${\log }_b(X)$ për çdo dy numra pozitivë $a,b\ne 1$ . Po kështu, nëse $e^Y$ shpërndahet log-normalisht, atëherë kështu është $a^Y$, ku $0<a\ne 1$ .

Për të prodhuar një shpërndarje me mesataren e dëshiruar ${\mu }_X$ dhe variancë ${\sigma }_X^2$, përdoret $\mu =\ln \left(\frac{{\mu }_X^2}{\sqrt{{\mu }_X^2+{\sigma }_X^2}}\right)$ dhe ${\sigma }^2=\ln (1+\frac{{\sigma }_X^2}{{\mu }_X^2}).$

Funksioni i densitetit të probabilitetit

Një ndryshore e rastit pozitive $X$ është e shpërndarë log-normalisht (d.m.th. $X\sim \mathrm{Lognormal}({\mu }_x,{\sigma }_x^2)$ ), nëse logaritmi natyror i X është i shpërndarë normalisht me mesatare $\mu$ dhe variancë ${\sigma }^2$ :

$\ln (X)\sim 𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$

Le të jenë $\mathrm{\Phi }$ dhe $\phi$ përkatësisht funksioni mbledhës i shpërndarjes së probabilitetit dhe funksioni i dendësisë së probabilitetit të shpërndarjes N (0,1), atëherë marrim

$\begin{array}{cc}{f}_X(x)& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{Pr}(X\le x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{Pr}(\ln X\le \ln x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{\Phi }\left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma }\right)\\ & =\phi \left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma }\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma }\right)=\phi \left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma }\right)\frac{1}{\sigma x}\\ & =\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}).\end{array}$

Funksioni i shpërndarjes mbledhëse

The cumulative distribution function is

$F_X(x)=\mathrm{\Phi }\left(\frac{(\ln x)-\mu }{\sigma }\right)$

ku $\mathrm{\Phi }$ është funksioni mbledhës i shpërndarjes së shpërndarjes normale standarde (dmth., $N(0,1)$).

Kjo mund të shprehet edhe si vijon:

$\frac{1}{2}[1+\mathrm{erf}\left(\frac{\ln x-\mu }{\sigma \sqrt{2}}\right)]=\frac{1}{2}\mathrm{erfc}(-\frac{\ln x-\mu }{\sigma \sqrt{2}})$

ku erfc është funksioni i gabimit plotësues .

Modaliteti, mesatarja, kuantilet

Krahasimi i mesatares, medianës dhe modës së dy shpërndarjeve log-normale me anësi të ndryshme.

Moda është pika e maksimumit global të funksionit të dendësisë së probabilitetit. Në veçanti, duke zgjidhur ekuacionin $(\ln f{)}^{\prime }=0$, marrim se:

$\mathrm{Mode}[X]=e^{\mu -{\sigma }^2}.$

Meqenëse ndryshorja e log-transformuar $Y=\ln X$ ka një shpërndarje normale, dhe kuantilet ruhen nën shndërrimet monotonike, kuantilet e $X$ janë

$q_X(\alpha )=e^{\mu +\sigma q_{\mathrm{\Phi }}(\alpha )}={\mu }^{*}({\sigma }^{*}{)}^{q_{\mathrm{\Phi }}(\alpha )},$

ku $q_{\mathrm{\Phi }}(\alpha )$ është kuantili i shpërndarjes normale standarde.

Në mënyrë të veçantë, mediana e një shpërndarjeje log-normale është e barabartë me mesataren e saj shumëzuese,

$\mathrm{Med}[X]=e^{\mu }={\mu }^{*}.$

Pritja e pjesshme

Pritja e pjesshme e një ndryshoreje të rastit $X$ në lidhje me një prag $k$ përkufizohet si

$g(k)=\underset{k}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{f}_X(x\mid X>k)dx.$

Përndryshe, duke përdorur përkufizimin e pritjes së kushtëzuar, mund të shkruhet si $g(k)=\mathrm{E}[X\mid X>k]P(X>k)$ . Për një ndryshore të rastit log-normale, pritja e pjesshme jepet nga:

$g(k)=\underset{k}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x{f}_X(x\mid X>k)dx=e^{\mu +\frac{1}{2}{\sigma }^2}\mathrm{\Phi }\left(\frac{\mu +{\sigma }^2-\ln k}{\sigma }\right)$

ku $\mathrm{\Phi }$ është funksioni normal kumulativ i shpërndarjes.

Pritja e kushtëzuar

Pritja e kushtëzuar e një ndryshoreje të rastit log-normale $X$ - në lidhje me një prag $k$ — A është pritshmëria e saj e pjesshme e ndarë me probabilitetin mbledhës për të qenë në atë shtrirje:

$\begin{array}{cc}E[X\mid X<k]& =e^{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}}\cdot \frac{\mathrm{\Phi }\left[\frac{\ln (k)-\mu -{\sigma }^2}{\sigma }\right]}{\mathrm{\Phi }\left[\frac{\ln (k)-\mu }{\sigma }\right]}\\ E[X\mid X⩾k]& =e^{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}}\cdot \frac{\mathrm{\Phi }\left[\frac{\mu +{\sigma }^2-\ln (k)}{\sigma }\right]}{1-\mathrm{\Phi }\left[\frac{\ln (k)-\mu }{\sigma }\right]}\\ [8pt]E[X\mid X\in [k_1,k_2]]& =e^{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}}\cdot \frac{\mathrm{\Phi }\left[\frac{\ln (k_2)-\mu -{\sigma }^2}{\sigma }\right]-\mathrm{\Phi }\left[\frac{\ln (k_1)-\mu -{\sigma }^2}{\sigma }\right]}{\mathrm{\Phi }\left[\frac{\ln (k_2)-\mu }{\sigma }\right]-\mathrm{\Phi }\left[\frac{\ln (k_1)-\mu }{\sigma }\right]}\end{array}$

Shumëfishi, e anasjellta, fuqia

• Shumëzimi me një konstante: Nëse $X\sim \mathrm{Lognormal}(\mu ,{\sigma }^2)$ atëherë $aX\sim \mathrm{Lognormal}(\mu +\ln a,{\sigma }^2)$ për $a>0.$
• Reciproke: Nëse $X\sim \mathrm{Lognormal}(\mu ,{\sigma }^2)$ atëherë $\frac{1}{X}\sim \mathrm{Lognormal}(-\mu ,{\sigma }^2).$
• Fuqia: Nëse $X\sim \mathrm{Lognormal}(\mu ,{\sigma }^2)$ atëherë $X^a\sim \mathrm{Lognormal}(a\mu ,a^2{\sigma }^2)$ për $a\ne 0.$

Shumëzimi dhe pjesëtimi i ndryshoreve të rastit të pavarura, log-normale

Nëse dy ndryshore të pavarura, log-normale $X_1$ dhe $X_2$ janë shumëzuar [pjestuar], produkti [raporti] është përsëri log-normal, me parametra $\mu ={\mu }_1+{\mu }_2$ [ $\mu ={\mu }_1-{\mu }_2$ ] dhe $\sigma$, ku ${\sigma }^2={\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2$ . Kjo përgjithësohet lehtësisht në produktin e $n$ ndryshoreve të tilla.

Në përgjithësi, nëse $X_j\sim \mathrm{Lognormal}({\mu }_j,{\sigma }_j^2)$ janë $n$ ndryshore të pavarura, të shpërndara normalisht në log, atëherë $Y={\prod }_{j=1}^n{X}_j\sim \mathrm{Lognormal}({\sum }_{j=1}^n{\mu }_j,{\sum }_{j=1}^n{\sigma }_j^2).$

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Nëse $X\sim 𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$ është një shpërndarje normale, atëherë $e^X\sim \mathrm{Lognormal}(\mu ,{\sigma }^2).$
• Nëse $X\sim \mathrm{Lognormal}(\mu ,{\sigma }^2)$ shpërndahet log-normalisht, atëherë $\ln (X)\sim 𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$ është një ndryshore e rastit normale.
• Le $X_j\sim \mathrm{Lognormal}({\mu }_j,{\sigma }_j^2)$ të jenë ndryshore të pavarura log-normalisht të shpërndara me mundësisht të ndryshme $\sigma$ dhe $\mu$ parametrat, dhe $Y={\sum }_{j=1}^n{X}_j$ . Shpërndarja e $Y$ nuk ka shprehje në formë të mbyllur, por mund të përafrohet në mënyrë të arsyeshme nga një shpërndarje tjetër log-normale $Z$ në bishtin e djathtë. Funksioni i tij i dendësisë së probabilitetit në afërsi të 0-së është karakterizuar dhe nuk i ngjan ndonjë shpërndarjeje log-normale. Një përafrim i përdorur zakonisht për shkak të LF Fenton (por i deklaruar më parë nga RI Wilkinson dhe i justifikuar matematikisht nga Marlow ) përftohet duke përputhur mesataren dhe variancën e një shpërndarjeje tjetër log-normale:
• $$\begin{array}{cc}{\sigma }_Z^2& =\ln [\frac{\sum e^{2{\mu }_j+{\sigma }_j^2}(e^{{\sigma }_j^2}-1)}{(\sum e^{{\mu }_j+{\sigma }_j^2/2}{)}^2}+1],\\ {\mu }_Z& =\ln [\sum e^{{\mu }_j+{\sigma }_j^2/2}]-\frac{{\sigma }_Z^2}{2}.\end{array}$$$$\begin{array}{cc}{\sigma }_Z^2& =\ln [\frac{\sum e^{2{\mu }_j+{\sigma }_j^2}(e^{{\sigma }_j^2}-1)}{(\sum e^{{\mu }_j+{\sigma }_j^2/2}{)}^2}+1],\\ {\mu }_Z& =\ln [\sum e^{{\mu }_j+{\sigma }_j^2/2}]-\frac{{\sigma }_Z^2}{2}.\end{array}$$$$\begin{array}{cc}{\sigma }_Z^2& =\ln [(e^{{\sigma }^2}-1)\frac{\sum e^{2{\mu }_j}}{(\sum e^{{\mu }_j}{)}^2}+1],\\ {\mu }_Z& =\ln [\sum e^{{\mu }_j}]+\frac{{\sigma }^2}{2}-\frac{{\sigma }_Z^2}{2}.\end{array}$$

Shuma e ndryshoreve të rastit të korreluara log-normalisht të shpërndara mund të përafrohet gjithashtu nga një shpërndarje log-normale $$\begin{array}{cc}{S}_{+}& =\mathrm{E}\left[\sum _i{X}_i\right]=\sum _i\mathrm{E}[X_i]=\sum _i{e}^{{\mu }_i+{\sigma }_i^2/2}\\ {\sigma }_Z^2& =1/S_{+}^2\sum _{i,j}{\mathrm{cor}}_{ij}{\sigma }_i{\sigma }_j\mathrm{E}[X_i]\mathrm{E}[X_j]=1/S_{+}^2\sum _{i,j}{\mathrm{cor}}_{ij}{\sigma }_i{\sigma }_j{e}^{{\mu }_i+{\sigma }_i^2/2}{e}^{{\mu }_j+{\sigma }_j^2/2}\\ {\mu }_Z& =\ln \left(S_{+}\right)-{\sigma }_Z^2/2\end{array}$$

• Nëse $X\sim \mathrm{Lognormal}(\mu ,{\sigma }^2)$ pastaj $X+c$ thuhet se ka një shpërndarje log-normale me tre parametra me mbështetje $x\in (c,+\mathrm{\infty })$ . $\mathrm{E}[X+c]=\mathrm{E}[X]+c$ , $\mathrm{Var}[X+c]=\mathrm{Var}[X]$ .
• Shpërndarja log-normale është një rast i veçantë i shpërndarjes SU gjysmë të kufizuar të Xhonsonit .
• Nëse $X\mid Y\sim \mathrm{Rayleigh}(Y)$ me $Y\sim \mathrm{Lognormal}(\mu ,{\sigma }^2)$, pastaj $X\sim \mathrm{Suzuki}(\mu ,\sigma )$ ( Shpërndarja Suzuki ).

Konkluzioni statistikor

Vlerësimi i parametrave

Për përcaktimin e vlerësuesve të përgjasisë maksimale të parametrave të shpërndarjes log-normale μ dhe σ, mund të përdorim të njëjtën procedurë si për shpërndarjen normale . Vini re se$$L(\mu ,\sigma )=\prod _{i=1}^n\frac{1}{x_i}{\phi }_{\mu ,\sigma }(\ln x_i),$$ku $\phi$ është funksioni i dendësisë së shpërndarjes normale $𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$ . Prandaj, funksioni log-përgjasi është$$\ell (\mu ,\sigma \mid x_1,x_2,\dots ,x_n)=-\sum _i\ln x_i+{\ell }_N(\mu ,\sigma \mid \ln x_1,\ln x_2,\dots ,\ln x_n).$$Meqenëse termi i parë është konstant në lidhje me μ dhe σ, të dy funksionet e përgjasisë logaritmike, $\ell$ dhe ${\ell }_N$, arrijnë maksimumin e tyre me të njëjtën $\mu$ dhe $\sigma$ . Prandaj, vlerësuesit e përgjasisë maksimale janë identikë me ata për një shpërndarje normale për vëzhgimet $\ln x_1,\ln x_2,\dots ,\ln x_n)$ ,$$\hat{\mu }=\frac{\sum _i\ln x_i}{n},{\hat{\sigma }}^2=\frac{\sum _i{(\ln x_i-\hat{\mu })}^2}{n}.$$

Ndodhia dhe zbatimet

Shpërndarja log-normale është e rëndësishme në përshkrimin e dukurive natyrore. Shumë procese të rritjes natyrore nxiten nga mbledhja i shumë ndryshimeve të vogla në përqindje të cilat bëhen shtuese në një shkallë logaritmike. Nën kushte të përshtatshme rregullsie, shpërndarja e ndryshimeve të mbledhura që rezultojnë do të përafrohet gjithnjë e më mirë nga një log-normale. Ky njihet gjithashtu si ligji i Gibratit, sipas Robert Gibrat (1904–1980) i cili e formuloi atë për kompanitë. Nëse shkalla e mbledhjes së këtyre ndryshimeve të vogla nuk ndryshon me kalimin e kohës, rritja bëhet e pavarur nga madhësia. Edhe nëse ky supozim nuk është i vërtetë, shpërndarjet e madhësisë në çdo moshë të gjërave që rriten me kalimin e kohës priren të jenë log-normale. Rrjedhimisht, shtrirja e referencës për matjet në individë të shëndetshëm vlerësohen më saktë duke supozuar një shpërndarje log-normale sesa duke supozuar një shpërndarje simetrike rreth mesatares. 

Një justifikim i dytë bazohet në vëzhgimin se ligjet themelore natyrore nënkuptojnë shumëzime dhe pjesëtime të ndryshoreve pozitive. Shembuj janë ligji i thjeshtë i gravitetit që lidh masat dhe largësinë me forcën që rezulton, ose formula për përqendrimet e baraspeshës të kimikateve në një tretësirë që lidh përqendrimet e edukteve dhe produkteve. Supozimi i shpërndarjeve log-normale të ndryshoreve të përfshira çon në modele të qëndrueshme në këto raste.

Sjellje njerezore

• Gjatësia e komenteve të postuara në forumet e diskutimit në internet ndjek një shpërndarje log-normale.
• Koha e qëndrimit të përdoruesve nëpër artikuj online (shaka, lajme etj.) ndjek një shpërndarje normale.
• Kohëzgjatja e lojërave të shahut priret të ndjekë një shpërndarje log-normale.
• Kohëzgjatja e fillimit të stimujve të krahasimit akustik që përputhen me një stimul standard ndjekin një shpërndarje log-normale.

Biologji dhe mjekësi

• Matjet e madhësisë së indeve të gjallë (gjatësia, zona e lëkurës, pesha).
• Periudha e inkubacionit të sëmundjeve.
• Diametrat e njollave të gjetheve të bananes, myk pluhur në elb.
• Për epidemitë shumë të transmetueshme, si SARS në 2003, nëse përfshihen politikat e kontrollit të ndërhyrjes publike, numri i rasteve të shtruara në spital tregohet se plotëson shpërndarjen log-normale pa parametra të lirë nëse supozohet një entropi dhe shmangie standarde përcaktohet nga parimi i shkallës maksimale të prodhimit të entropisë .
• Gjatësia e shtojcave inerte (flokët, kthetrat, thonjtë, dhëmbët) e ekzemplarëve biologjikë. 
• Disa matje fiziologjike, të tilla si tensioni i gjakut i njerëzve të rritur (pas ndarjes në nënpopullata meshkuj/femra).
• Disa variabla farmakokinetikë, si C <sub id="mwAsM">max</sub>, koha e gjysëmeliminimit dhe konstantja e shkallës së eliminimit .
• Në neuroshkencë, shpërndarja e ritmeve të shkrepjes në një popullatë neuronesh është shpesh afërsisht log-normale. Kjo është vërejtur fillimisht në korteks dhe striatum dhe më vonë në hipokampus dhe korteksin entorhinal, dhe gjetkë në tru. Gjithashtu, shpërndarjet e fitimit të brendshëm dhe shpërndarjet e peshës sinaptike duket të jenë gjithashtu log-normale .
• Në menaxhimin e sallave të operacionit, shpërndarja e kohëzgjatjes së operacionit .
• Në madhësinë e orteqeve të thyerjeve në citoskeletin e qelizave të gjalla, duke treguar shpërndarje log-normale, me madhësi dukshëm më të lartë në qelizat kancerogjene sesa ato të shëndetshme.

Kimia

• Shpërndarjet e madhësisë së grimcave dhe shpërndarjet e masës molare .

• Përqendrimi i elementeve të rrallë në minerale.
• Diametrat e kristaleve në akullore, pika vaji në majonezë, poret në tortën me kakao.

Shpërndarja mbledhëse log-normale e përshtatur me reshje maksimale vjetore 1-ditore, shih përshtatjen e shpërndarjes

Shkencat sociale dhe demografia

• Në ekonomi, ka dëshmi se të ardhurat e 97%-99% të popullsisë shpërndahen log-normalisht. (Shpërndarja e personave me të ardhura më të larta ndjek një shpërndarje Pareto ).
• Nëse një shpërndarje e të ardhurave ndjek një shpërndarje log-normale me shmangie standarde $\sigma$, atëherë koeficienti Gini, i përdorur zakonisht për të vlerësuar pabarazinë e të ardhurave, mund të llogaritet si $G=\mathrm{erf}\left(\frac{\sigma }{2}\right)$ ku $\mathrm{erf}$ është funksioni i gabimit, pasi $G=2\mathrm{\Phi }\left(\frac{\sigma }{\sqrt{2}}\right)-1$, ku $\mathrm{\Phi }(x)$ është funksioni mbledhës i shpërndarjes së një shpërndarjeje normale standarde.
• Në financë, në veçanti modeli Black–Scholes, ndryshimet në logaritmin e kurseve të këmbimit, indekseve të çmimeve dhe indekseve të tregut të aksioneve supozohen normale (këto ndryshore sillen si interes i përbërë, jo si interes i thjeshtë, dhe kështu janë shumëzuese) . Megjithatë, disa matematikanë të tillë si Benoit Mandelbrot kanë argumentuar se shpërndarjet log-Lévy, e cila ka për karakteristikë bishta të rëndë do të ishte një model më i përshtatshëm, veçanërisht për analizën për rrëzimet e tregut të aksioneve . Në të vërtetë, shpërndarjet e çmimeve të aksioneve zakonisht shfaqin një bisht të trashë . Shpërndarja me bishta të trashë e ndryshimeve gjatë rrëzimeve të tregut të aksioneve zhvlerëson supozimet e teoremës qëndrore limite .
• Në Scientometrics, numri i citimeve në artikujt e revistave dhe patentave ndjek një shpërndarje diskrete log-normale.
• Madhësitë e qyteteve (popullsia) plotësojnë Ligjin e Gibratit. Procesi i rritjes së përmasave të qyteteve është proporcional dhe i pandryshueshëm në lidhje me madhësinë. Prandaj, nga teorema qëndrore limite, regjistri i madhësisë së qytetit shpërndahet normalisht.
• Numri i partnerëve seksualë duket se përshkruhet më së miri nga një shpërndarje log-normale.

Teknologjia

• Në analizën e besueshmërisë, shpërndarja log-normale përdoret shpesh për të modeluar kohët për të riparuar një sistem të mirëmbajtshëm.
• Në komunikimin me valë, "fuqia mesatare vendore e shprehur në vlera logaritmike, të tilla si dB ose neper, ndjek një shpërndarje normale (dmth. Gaussian). Gjithashtu, pengimi i rastësishëm i sinjaleve të radios për shkak të ndërtesave dhe kodrave të mëdha, i quajtur hijezim, shpesh modelohet si një shpërndarje log-normale.
• Shpërndarja e madhësisë së skedarit të skedarëve audio dhe video të qasshme publikisht ( llojet MIME ) ndjek një shpërndarje log-normale mbi pesë rende madhësie .
• Madhësitë e skedarëve prej 140 milionë skedarësh në kompjuterët personalë që përdorin Windows OS, të mbledhura në vitin 1999.
• Madhësitë e emaileve të bazuara në tekst (1990) dhe emaileve të bazuara në multimedia (2000).
• Në rrjetet kompjuterike dhe analizën e trafikut të internetit, log-normal paraqitet si një model i mirë statistikor për të përfaqësuar sasinë e trafikut për njësi të kohës. Kjo është treguar duke zbatuar një qasje të fuqishme statistikore në një grup të madh gjurmësh reale të internetit.