Shuma e ndryshoreve të rastit të shpërndara normalisht

Në teorinë e probabilitetit, llogaritja e shumës së ndryshoreve të rastit me shpërndarje normale është një shembull i aritmetikës së ndryshoreve të rastit .

Ndryshore rasti të pavarura

Le të jenë $X$ dhe $Y$ ndryshore rasti të pavarura që shpërndahen normalisht (dhe për rrjedhojë edhe bashkërisht kështu), atëherë shuma e tyre gjithashtu shpërndahet normalisht. dmth, nëse

$X\sim N({\mu }_X,{\sigma }_X^2)$

$Y\sim N({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2)$

$Z=X+Y,$

atëherë

$Z\sim N({\mu }_X+{\mu }_Y,{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2).$

Kjo do të thotë që shuma e dy ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara normalisht është normale, ku mesatarja e saj është shuma e dy mesatareve dhe varianca e saj është shuma e dy variancave (d.m.th., katrori i devijimit standard është shuma e katrorët e devijimeve standarde).

Në mënyrë që ky rezultat të qëndrojë, supozimi se $X$ dhe $Y$ janë të pavarura nuk mund të hiqet, megjithëse mund të dobësohet në supozimin se $X$ dhe $Y$ janë të shpërndara normalisht së bashku, dhe jo veçmas. (Shih këtu për një shembull .)

Vërtetimi

Vërtetimi duke përdorur funksione karakteristike

Funksioni karakteristik

${\phi }_{X+Y}(t)=\mathrm{E}\left(e^{it(X+Y)}\right)$

i shumës së dy ndryshoreve të rastit të pavarura $X$ dhe $Y$ është vetëm prodhimi i dy funksioneve të veçanta karakteristike:

${\phi }_X(t)=\mathrm{E}\left(e^{itX}\right),{\phi }_Y(t)=\mathrm{E}\left(e^{itY}\right)$

e $X$ dhe $Y$.

Funksioni karakteristik i shpërndarjes normale me vlerë të pritur $\mu$ dhe variancë ${\sigma }^2$ është

$\phi (t)=\exp (it\mu -\frac{{\sigma }^2{t}^2}{2}).$

Kështu që

$\begin{array}{cc}{\phi }_{X+Y}(t)={\phi }_X(t){\phi }_Y(t)& =\exp (it{\mu }_X-\frac{{\sigma }_X^2{t}^2}{2})\exp (it{\mu }_Y-\frac{{\sigma }_Y^2{t}^2}{2})\\ & =\exp (it({\mu }_X+{\mu }_Y)-\frac{({\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2)t^2}{2}).\end{array}$

Ky është funksioni karakteristik i shpërndarjes normale me pritje matematike ${\mu }_X+{\mu }_Y$ dhe variancë ${\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2$

Ndryshore rasti të korreluara

Në rast se ndryshoret $X$ dhe $Y$ janë së bashku të shpërndara normalisht, atëherë $X+Y$ është ende e shpërndarë normalisht dhe mesatarja është shuma e mesatareve. Megjithatë, variancat nuk janë shtuese për shkak të korrelacionit. Me të vërtetë,

${\sigma }_{X+Y}=\sqrt{{\sigma }_X^2+{\sigma }_Y^2+2\rho {\sigma }_X{\sigma }_Y},$

ku ρ është korrelacioni . Në veçanti, sa herë që ρ < 0, atëherë varianca është më e vogël se shuma e variancave të X dhe Y.