Transformimi i Laplasit

Në matematikë, transformimi i Laplasit (i emërtuar sipas zbuluesit, Pierre-Simon Laplace) është një transformim integral që pasqyron një funksion me vlera reale (zakonisht $𝒕$, në rrafshin e kohës) në një funksion të ndryshores komplekse $𝒔$ (në rrafshin e frekuencës). Shndërrimi ka shumë zbatime në shkencë dhe inxhinieri sepse është një mjet për të zgjidhur ekuacione diferenciale. Në veçanti, ai shndërron ekuacionet diferenciale të zakonshme (EDZ) në ekuacione algjebrike dhe thurjen në shumëzim.

Transformimet e Laplasit

Transformimi I Laplasit për sinjalin $x(t)$ përkufizohet si :

$X(S)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-st}dt$

Ku ndryshorja $s$ është madhësi komplekse $s=\sigma +j\omega =\mathrm{\Re }[s]+\mathrm{\Im }[s]$. Zbatim më të madh praktikë ka transformimi i njëanshëm i Laplasit , ku merr parasysh vetem pjesën shkakesore të sinjalit $x(t)$

$X(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-st}dt$

Vetit e transformimit të Laplasit

• Lineariteti

Shumës së peshuar(kombinimit linear) të hyrjeve I përgjigjet kombinimi linear i transformimeve përkatëse me pesha të njëjta.

$x_1(t)\leftrightarrow X_1(s)$ dhe $x_2(t)\leftrightarrow X_2(s)$

$a{x}_1(t)+b{x}_2(t)\leftrightarrow a{X}_1(s)+b{X}_2(s)$

.Zona e konvergjencës së X(s) formohet nga bashkësia vlerave të s për të cilat bashkërisht konvergjojnë $X_1(s)$ dhe $X_2(s)$

• Zhvendosja në kohë:

Sinjali i zhvendosur për tο çiftohet me transformimin

$x(t-t_0)\leftrightarrow e^{-s{t}_0}X(s)$

.Vetia vlen pa kufizim vetëm për transformimin dyanësor, pra si për vlera pozitive ashtu edhe për vlera negative të zhvendosjes $t_0$.Te transformimi njëanësor i . .Laplasit vetia vlen vetëm për vlera pozitive të $t_0$, pra për $t_0<0$ vetia nuk vlen.

• Zhvendosja në domenin s

Nëse $x(t)\leftrightarrow X(s)$ atëherë vlen

$e^{s_{0}t}x(t)\leftrightarrow X(s-s_0)$

Zona e konvergjencës së $X(s-s_0)$ zhvendoset për Re[sₒ] ndaj asaj të $X(s)$.

• Shkallëzimi në kohë

Nëse $x(t)\leftrightarrow X(s)$ dhe $a$ është numër real atëherë vlen: $x(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}F\left(\frac{s}{a}\right)$ Zona e konvergjencës gjithashtu shkallëzohet $R_1=aR$

• Vetia e thurjes në kohë

Nëse $x_1(t)\leftrightarrow X_1(s)$ dhe $x_2(t)\leftrightarrow X_2(s)$, me zona të konvergjencës $R_1$, përkatësisht $R_2$, atëherë:

$x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow X_1(s)X_2(s)$

• Vetia e diferencimit në kohë

Në qoftë se $X(s)$ është transformimi i njëanshëm i $x(t)$, atëherë për derivatin e $x(t)$ vlen:

$\frac{dx(t)}{dt}\leftrightarrow sX(s)-x(0)$

Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë me atë të $X(s)$, pos në rastin kur $X(s)$ ka pol në $s=0$, në këtë rast ky pol anulohet dhe për rrjedhojë zona e konvergjencës ndryshon. Transformim dyanësor i rendit arbitrar të derivatit të $x(t)$ merr trajtën:

$\frac{d^{m}x(t)}{d{t}^m}\leftrightarrow s^{m}X(s)$

• Diferencimi në rrafshin s

$-tx(t)\leftrightarrow \frac{dX(s)}{ds}$

Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë. Në rastin e përgjithshëm, për derivatin e $n^{\mathbf{\text{te}}}$, vlen:

$(-1{)}^m{t}^{m}x(t)\leftrightarrow \frac{d^{m}X(s)}{d{s}^m}$

• Integrimi në rrafshin kohor:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}x(\lambda )d\lambda \leftrightarrow \frac{X(s)}{s}$

• Terorema për vlerën fillestare:

Vlera fillestare e sinjalit shkakësor $x(0)$ mund të përcaktohet nga $X(s)$ përmes relacionit:

$x(0)=\underset{s=\mathrm{\infty }}{\lim }sX(s)$

• Teorema për pikën fundore:

Vlera fundore e sinjalit shkakësor $x(t)$ mund të përcaktohet nga relacioni:

$x(\mathrm{\infty })=\underset{s=0}{\lim }sX(s)$

Tabela e disa funksioneve bazike

Sinjali në domenin kohor	Sinjali në domenin s	Zona e konvergjencës
$x(t)$	$X(S)$	ROC
$u(t)$	$\frac{1}{s}$	$Re(s)>0$
$-u(-t)$	$\frac{1}{s}$	$Re(s)$
$tu(t)$	$\frac{1}{s^2}$	$Re(s)>0$
$t^{k}u(t)$	$\frac{k!}{s^{k+1}}$	$Re(s)>0$
$e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{s+a}$	$Re(s)>-Re(a)$
$-e^{-at}u(t)$	$\frac{1}{s+a}$	$Re(s)<-Re(a)$
$t{e}^{-at}u(t)$	$\frac{1}{{s+a}^2}$	$Re(s)>-Re(a)$
$-t{e}^{-at}u(t)$	$\frac{1}{{s+a}^2}$	$Re(s)<-Re(a)$
$cos{w}_{o}tu(t)$	$\frac{s}{s^2+{w_o}^2}$	$Re(s)>0$
$sin{w}_{o}tu(t)$	$\frac{w}{s^2+{w_o}^2}$	$Re(s)>0$
$e^{-at}cos{w}_{o}tu(t)$	$\frac{s+a}{{(s+a)}^2+{w_o}^2}$	$Re(s)>-Re(a)$
$e^{-at}sin{w}_{o}tu(t)$	$\frac{w}{{(s+a)}^2+{w_o}^2}$	$Re(s)>-Re(a)$

Transformimi i kundërt i Laplasit

Bazë për përcaktimin e shprehjes për transformim të kundërt të Laplasit , mund të shërbejnë shprehjet e cifteve transfomuese Furie.

• Sipas interpretimit më të drejtpërdrejt , transformimi Furie $X(\omega )$ paraqet vlerat e transformimit të Laplasit ,$X(s)$ , nëpër boshtin imagjinar $j\omega$

$X(s)=X(\sigma +j\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)e^{-\sigma t}{e}^{-j\omega t}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[x(t)e^{-\sigma t}]e^{-j\omega t}dt=F[x(t)e^{-\sigma t}]$

• Transformimi i Laplasit i sinjalit x(t) mund të interpretohet edhe si transformim Furie i sinjalit $x(t)e^{-\sigma t}$.

Me këtë shmanget problemi i përfshirjes së boshtit imagjinar në zonën e konvergjencës.

$x(t)e^{\sigma t}=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(\sigma +j\omega )e^{j\omega t}d\omega$

ose

$x(t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}X(\sigma +j\omega )e^{(\sigma +j\omega )t}d\omega$

Zbatime

Impedanca e një kapacitori

Në teorinë e qarqeve elektrikë,rryma në një kapacitor është e përpjesshme me kapacitancën dhe shkallën e ndryshimit në potencialin elektrik (me ekuacionet për sistemin SI të njësive). Simbolikisht kjo shprehetj nga ekuacioni diferencial$$i=C\frac{dv}{dt},$$ku Stampa:Math është kapacitanca e kondensatorit, Stampa:Math është rryma elektrike nëpërmjet kondensatorit si funksion i kohës, dhe Stampa:Math është voltazhi ndërmjet terminaleve të kondensatorit, është gjithashtu një funksion i kohës.

Duke marrë shndërrimin e Laplasit të këtij ekuacioni, përftojmë$$I(s)=C(sV(s)-V_0),$$ku$$\begin{array}{cc}I(s)& =ℒ\{i(t)\},\\ V(s)& =ℒ\{v(t)\},\end{array}$$dhe$$V_0=v(0).$$Duke zgjidhur për Stampa:Math marrim$$V(s)=\frac{I(s)}{sC}+\frac{V_0}{s}.$$Përkufizimin i impedancës komplekse Stampa:Math (në ohm) është raporti i voltazhit kompleks Stampa:Math i pjesëtuar me rrymën komplekse Stampa:Math duke mbajtur gjëndjen fillestare Stampa:Math në çastin t=0:$$Z(s)={\frac{V(s)}{I(s)}|}_{V_0=0}.$$Duke përdorur këtë përkufizim dhe ekuacionin e mëparshëm, gjejmë që:$$Z(s)=\frac{1}{sC},$$e cila është shprehja e saktë për impedancën komplekse të kondensatorit. Më tej, shndërrimi i Laplasit gjen zbatime të shumta në teorinë e kontrollit.

Përgjigja e impulsit

Konsideroni një sistem LTI me funksionin e transferimit:$$H(s)=\frac{1}{(s+\alpha )(s+\beta )}.$$Përgjigja impuls është vetëm transformimi i anasjelltë i Laplasit i këtij funksioni transferimi:$$h(t)={ℒ}^{-1}\{H(s)\}.$$

Referimet

• [1]
• Hwei P. Hsu, 1995, McGraw-Hill. “Schaum's Outline of Theory and Problems of Signals and Systems”
• E. Kamen and B. Heck; 3rd ed., 2006, Prentice Hall.“Signals and Systems”
• Alan V. Oppenheim, 2nd ed., Ligj. 1 1 1996, Prentice Hall. “Fundamentals of Signals and Systems-Using Matlab”
• “Sinjalet dhe Sistemet” Ilir Limani – Ligjërata të Autorizuara