Transformimi integral

Forma e përgjithshme

Një shndërrim integral është çdo shndërrim $T$ i formës së mëposhtme:

$(Tf)(u)=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}f(t)K(t,u)dt$

Hyrja e këtij transformimi është një funksion $f$, dhe dalja është një funksion tjetër $Tf$ . Një transformim integral është një lloj i veçantë operatori matematikor.

Ka shumë transformime integrale të dobishme. Secili specifikohet nga një zgjedhje e funksionit $K$ të dy variablave, funksioni i bërthamës, bërthama integrale ose bërthama e transformimit. Në anglisht njihet me emrin kernel.

Disa bërtham kanë një bërthamë të anasjelltë (kernel invers) të lidhur $K^{-1}(u,t)$ i cila (përafërsisht) jep një transformim të anasjelltë:

$f(t)=\underset{u_1}{\overset{u_2}{\int }}(Tf)(u)K^{-1}(u,t)du$

Një bërthamë simetrike është ajo që është e pandryshuar kur të vendet e ndryshoreve ndërrohen; është një funksion kernel $K$ sikurse $K(t,u)=K(u,t)$ . Në teorinë e ekuacioneve integrale, bërthamat simetrike korrespondojnë me operatorët e vetë-bashkuar.

Motivimi

Ka shumë klasa problemesh që janë të vështira për t'u zgjidhur - ose të paktën mjaft të koklavitura algjebrikisht - në paraqitjet e tyre origjinale. Një transformim integral "hartëzon" një ekuacion nga "fusha" e tij origjinale në një fushë tjetër, në të cilën manipulimi dhe zgjidhja e ekuacionit mund të jetë shumë më të lehta se sa në domenin origjinal. Zgjidhja më pas mund të rikthehet në fushën origjinale me inversin e transformimit integral.

Ka shumë aplikime të probabilitetit që mbështeten në transformime integrale, të tilla si "kerneli i çmimeve" ose faktori stokastik i zbritjes, ose zbutja e të dhënave të rikuperuara nga statistika të forta; shih kernel (statistika) .

Historia

Pararendësi i transformimeve ishin seritë Furier për të shprehur funksionet në intervale të fundme. Më vonë transformimi Thurje u zhvillua për të hequr kërkesën e intervaleve të fundme.

Duke përdorur serinë Fourier, pothuajse çdo funksion praktik i kohës ( voltazhi në terminalet e një pajisjeje elektronike për shembull) mund të përfaqësohet si një shumë e sinuseve dhe kosinuseve, secili i shkallëzuar në mënyrë të përshtatshme (i shumëzuar me një faktor konstant), i zhvendosur (i përparuar ose i vonuar në kohë) dhe i "shtrydhur" ose i "shtrirë" (duke rritur ose ulur frekuencën). Sinuset dhe kosinuset në serinë Fourier janë një shembull i një baze ortonormale .

Shembull përdorimi

Si shembull i një aplikimi të transformimeve integrale, merrni parasysh transformimin e Laplasit . Kjo është një teknikë që hartëzon ekuacionet diferenciale ose integro-diferenciale në domenin "kohë" në ekuacione polinomiale në atë që quhet domeni i "frekuencës komplekse" . (Frekuenca komplekse është e ngjashme me frekuencën aktuale, fizike, por mjaft më e përgjithshme. Në mënyrë të veçantë, përbërësi imagjinar ω i frekuencës komplekse s = − σ + iω korrespondon me konceptin e zakonshëm të frekuencës ndërsa përbërësi real σ i frekuencës komplekse i korrespondon shkallës së "shuarjes", pra një ulje eksponenciale të amplitudës. ) Ekuacioni i hedhur në termat e frekuencës komplekse zgjidhet lehtësisht në fushën e frekuencës komplekse, duke çuar në një "zgjidhje" të formuluar në fushën e frekuencës. Duke përdorur transformimin e anasjelltë, dmth ., procedurën e anasjelltë të transformimit origjinal të Laplasit, merret zgjidhja në kohë.

Tabela e transformimeve

Tabela e transformimeve integrale

Transformimi	Simbolet	K	f(t)	t1	t2	K−1	u1	u2
Transformimi	F, f	$\frac{2t}{\sqrt{t^2-u^2}}$		$u$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{-1}{\pi \sqrt{u^2-t^2}}\frac{d}{du}$	t	$\mathrm{\infty }$
Transformimi Shoqërues Lezhendrë	${𝒥}_{n,m}$	$(1-x^2{)}^{-m/2}{P}_n^m(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\mathrm{\infty }$
Transformimi Furje	$ℱ$	$e^{-2\pi iut}$	$L_1$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$e^{2\pi iut}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
Transformimi sinusoidal Furje	${ℱ}_s$	$\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin (ut)$	në $[0,\mathrm{\infty })$, vlera reale	$0$	$\mathrm{\infty }$	$\sqrt{\frac{2}{\pi }}\sin (ut)$	$0$	$\mathrm{\infty }$
Transformimi kosinuoidal Furje	${ℱ}_c$	$\sqrt{\frac{2}{\pi }}\cos (ut)$	në $[0,\mathrm{\infty })$, vlera reale	$0$	$\mathrm{\infty }$	$\sqrt{\frac{2}{\pi }}\cos (ut)$	$0$	$\mathrm{\infty }$
Transformimi Hankel		$t{J}_{\nu }(ut)$		$0$	$\mathrm{\infty }$	$u{J}_{\nu }(ut)$	$0$	$\mathrm{\infty }$
Transformimi Hartlej	$\mathscr{H}$	$\frac{\cos (ut)+\sin (ut)}{\sqrt{2\pi }}$		$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{\cos (ut)+\sin (ut)}{\sqrt{2\pi }}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
Transformimi Hermit	$H$	$e^{-x^2}{H}_n(x)$		$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$		$0$	$\mathrm{\infty }$
Transformimi Hilbert	$\mathscr{H}il$	$\frac{1}{\pi }\frac{1}{u-t}$		$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{1}{\pi }\frac{1}{u-t}$	$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
Transformimi Jakobi	$J$	$(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta }{P}_n^{\alpha ,\beta }(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\mathrm{\infty }$
Transformimi Lagerrë	$L$	$e^{-x}{x}^{\alpha }{L}_n^{\alpha }(x)$		$0$	$\mathrm{\infty }$		$0$	$\mathrm{\infty }$
Laplace Transformimi	$ℒ$	$e^{-ut}$		$0$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{e^{ut}}{2\pi i}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
Transformimi Lezhandrë	$𝒥$	$P_n(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\mathrm{\infty }$
Transformimi Melin	$ℳ$	$t^{u-1}$		$0$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{t^{-u}}{2\pi i}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
Transformimi i dyanshëm i Laplasit	$ℬ$	$e^{-ut}$		$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{e^{ut}}{2\pi i}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
Bërthama Puason		$\frac{1-r^2}{1-2r\cos \theta +r^2}$		$0$	$2\pi$
Transformimi Radon	Rƒ			$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$
Transformimi Vajershtras	$𝒲$	$\frac{e^{-\frac{(u-t{)}^2}{4}}}{\sqrt{4\pi }}$		$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$	$\frac{e^{\frac{(u-t{)}^2}{4}}}{i\sqrt{4\pi }}$	$c-i\mathrm{\infty }$	$c+i\mathrm{\infty }$
Transformimi rreze X	Xƒ			$-\mathrm{\infty }$	$\mathrm{\infty }$