Seritë e Tejlorit

Ndërsa shkalla e polinomit Tejlor rritet, ai i afrohet funksionit të saktë. Ky imazh tregon sin x dhe përafrimet e tij Tejlor me polinome të shkallës 1, 3, 5, 7, 9, 11 dhe 13 në x = 0 .

Në matematikë, seria Tejlor ose zgjerimi Tejlor i një funksioni është një shumë e pafundme termash që shprehen në terma të derivateve të funksionit në një pikë të vetme. Për shumicën e funksioneve të zakonshme, funksioni dhe shuma e serisë së tij Tejlor janë të barabarta pranë kësaj pike. Seritë Tejlor janë emërtuar sipas Brook Taylor, i cili i paraqiti ato në 1715. Një seri Tejlor quhet gjithashtu një seri Maclaurin kur 0 është pika ku merren parasysh derivatet, pas Colin Maclaurin, i cili përdori gjerësisht këtë rast të veçantë të serisë së Tejlorit në mesin e shekullit të 18-të.

Shuma e pjesshme e formuar nga n + 1 termat e parë të një serie Tejlor është një polinom i shkallës n që quhet polinomi i n -të Tejlor i funksionit. Polinomet e Tejlorit janë përafrime të një funksioni, të cilat në përgjithësi bëhen më të sakta kur rritet n . Teorema e Tejloritit jep vlerësime sasiore mbi gabimin e paraqitur nga përdorimi i përafrimeve të tilla. Një funksion mund të ndryshojë nga shuma e serisë së tij Taylor, edhe nëse seria e tij Taylor është konvergjente. Një funksion është analitik në një pikë x nëse është i barabartë me shumën e serisë së tij Tejlor në një interval të hapur (ose disk të hapur në planin kompleks ) që përmban vetë pikën x . Kjo nënkupton që funksioni është analitik në çdo pikë të intervalit (ose diskut).

Përkufizimi

Seria e Tejlorit e një funksioni real ose me vlerë komplekse $f(x)$ që është pafundësisht i diferencueshëm në një numër real ose kompleks a është seria e fuqisë

$f(a)+\frac{f^{\prime }(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{‴}(a)}{3!}(x-a{)}^3+\cdots ,$

ku n ! tregon faktorialin e n . Në shënimin sigma më kompakt, kjo mund të shkruhet si

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n,$

ku $f^{(n)}(a)$ tregon derivatin e n-të të $f$ të vlerësuar në pikën $a$ . (Derivati i rendit zero të $f$ është përcaktuar të jetë $f$ vetë dhe $(x-a{)}^0$ dhe $0!$ janë përcaktuar të dyja të jenë<span typeof="mw:Entity" id="mwWw"> </span>1 . )

Me a = 0, seria Meklaurin merr formën:

$f(0)+\frac{f^{\prime }(0)}{1!}x+\frac{f^{″}(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{‴}(0)}{3!}{x}^3+\cdots ,$

ose në shënimin kompakt sigma:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n.$

Shembuj

Seria e Tejlorit për çdo polinomi është vetë polinomi.

Seria Maclaurin e $\frac{1}{1-x}$ është seria gjeometrike

$1+x+x^2+x^3+\cdots .$

Pra, duke zëvendësuar x për 1 − x, seria Tejlor e $\frac{1}{x}$ në $a=1$ është

$1-(x-1)+(x-1{)}^2-(x-1{)}^3+\cdots .$

Duke integruar serinë e mësipërme Meklaurin, gjejmë serinë Meklaurin të $\ln (1-x)$, ku ln tregon logaritmin natyror :

$-x-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4-\cdots .$

Seria përkatëse Tejlor e $\ln x$ në a = 1 është

$(x-1)-\frac{1}{2}(x-1{)}^2+\frac{1}{3}(x-1{)}^3-\frac{1}{4}(x-1{)}^4+\cdots ,$

dhe në përgjithësi, seria përkatëse e Taylor-it e $\ln x$ në një pikë arbitrare jozero a është:

$\ln a+\frac{1}{a}(x-a)-\frac{1}{a^2}\frac{{(x-a)}^2}{2}+\cdots .$

Seria Meklaurin e funksionit eksponencial e x është

$\begin{array}{cc}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}& =\frac{x^0}{0!}+\frac{x^1}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots \\ & =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\cdots .\end{array}$

Zgjerimi i mësipërm vlen sepse derivati i $e^x$ në lidhje me x është gjithashtu $e^x$, dhe e 0 është i barabartë 1. Kjo i lë termat $(x-0{)}^n$ në numërues dhe $n!$ në emëruesin e çdo termi në shumën e pafundme.

Funksionet analitike

Funksioni e (−1/ x 2 ) nuk është analitik në x = 0 : seria e Tejlorit është identike 0, megjithëse funksioni nuk është.

Nëse $f(x)$ jepet nga një seri fuqie konvergjente në një disk të hapur me qendër në b në planin kompleks (ose një interval në vijën reale), thuhet se është analitik në këtë rajon. Kështu për $x$ në këtë rajon, $f$ jepet nga një seri fuqie konvergjente

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-b{)}^n.$

Duke diferencuar në lidhje me $x$ në formulën e mësipërme n herë, më pas vendosja e $x=b$ jep:

$\frac{f^{(n)}(b)}{n!}=a_n$

dhe kështu zgjerimi i serisë së fuqive përputhet me serinë e Tejlorit. Kështu, një funksion është analitik në një disk të hapur me qendër në b nëse dhe vetëm nëse seria e tij Tejlor konvergjon në vlerën e funksionit në çdo pikë të diskut.

Nëse $f(x)$ është e barabartë me shumën e serisë së saj Tejlor për të gjitha x në rrafshin kompleks, quhet e tërë . Polinomet, funksioni eksponencial e x, dhe funksionet trigonometrike sinusi dhe kosinusi, janë shembuj të funksioneve të tëra. Shembuj të funksioneve që nuk janë të tëra përfshijnë rrënjën katrore, logaritmin, tangjentën e funksionit trigonometrik dhe inversin e saj, arctan . Për këto funksione seria e Taylor-it nuk konvergjon nëse x është larg nga b . Kjo do të thotë, seria e Tejlor-it divergjon në x nëse largësia midis x dhe b është më e madhe se rrezja e konvergjencës . Seria Tejlor mund të përdoret për të llogaritur vlerën e një funksioni të tërë në çdo pikë, nëse vlera e funksionit dhe e të gjithë derivateve të tij janë të njohura në një pikë të vetme.

Përdorimet e serisë së Tejlorit për funksionet analitike përfshijnë:

1. Shumat e pjesshme ( polinomet e Tejlorit ) të serisë mund të përdoren si përafrime të funksionit. Këto përafrime janë të mira nëse përfshihen mjaft terma.
2. Diferencimi dhe integrimi i serive të fuqisë mund të kryhet term pas termi dhe për këtë arsye është veçanërisht i lehtë.
3. Një funksion analitik shtrihet në mënyrë unike në një funksion holomorfik në një disk të hapur në planin kompleks . Kjo bën të gatshme makinerinë e analizës komplekse .
4. Seria (e cunguar/ e prerë) mund të përdoret për të llogaritur vlerat e funksionit në mënyrë numerike, (shpesh duke e riformuar polinomin në formën Çebishev dhe duke e vlerësuar atë me algoritmin Klenshau ).
5. Veprimet algjebrike mund të bëhen lehtësisht në paraqitjen e serisë së fuqisë; për shembull, formula e Euler- it vjen nga zgjerimet e serisë së Tejlorit për funksionet trigonometrike dhe eksponenciale. Ky rezultat është i një rëndësie thelbësore në fusha të tilla si analiza harmonike .
6. Përafrimet duke përdorur termat e parë të një serie Tejlor mund të bëjnë të mundshme probleme të pazgjidhshme për një fushë të kufizuar; kjo qasje përdoret shpesh në fizikë.

Gabimi i përafrimit dhe konvergjenca

Funksioni sinus (blu) përafrohet ngushtë me polinomin e tij të Tejlorit të shkallës 7 (rozë) për një periudhë të plotë të përqendruar në origjinë.

Polinomet e Taylor për ln(1 + x ) ofrojnë vetëm përafrime të sakta në segmentin −1 < x ≤ 1 . Për x > 1, polinomet e Tejlorit të shkallës më të lartë ofrojnë përafrime më të këqija.

Përafrimet e Tejlorit për ln(1 + x ) (e zezë). Për x > 1, përafrimet ndryshojnë.

Në foto është një përafrim i saktë i $sin(x)$ rreth pikës x = 0 . Kurba rozë është një polinom i shkallës shtatë:

$\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}.$

Gabimi në këtë përafrim nuk është më shumë se $\frac{|x{|}^9}{9!}$ . Për një cikël të plotë të përqendruar në origjinë ($-\pi <x<\pi$ ) gabimi është më i vogël se 0,08215. Në veçanti, për $-1<x<1$, gabimi është më i vogël se 0.000003.

Në të kundërt, tregohet gjithashtu një fotografi e funksionit të logaritmit natyror $\ln (1+x)$ dhe disa prej polinomeve të tij Taylor rreth a = 0 . Këto përafrime konvergjojnë me funksionin vetëm në rajonin −1 < x ≤ 1 ; jashtë këtij rajoni, polinomet e Tejlorit të shkallës më të lartë janë përafrime më të këqija për funksionin.

Gabimi i bërë në përafrimin e një funksioni me polinomin e tij të Tejlorit të shkallës së n -të quhet mbetje dhe shënohet me funksionin $R_n(x)$ . Teorema e Tejlorit mund të përdoret për të marrë një kufi në madhësinë e pjesës së mbetur .

Lista e serive Meklauren të disa funksioneve të zakonshme

Pasojnë disa zgjerime të rëndësishme të serive Maclaurin. Të gjitha këto zgjerime janë të vlefshme për argumentet komplekse x .

Funksioni eksponencial

Funksioni eksponencial $e^x$ (me blu), dhe shuma e n + 1 termave të parë të serisë së tij Tejlor në 0 (me të kuqe).

Funksioni eksponencial $e^x$ (me bazën e ) ka serinë Maklauren

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$ .

Kjo seri konvergjon për të gjitha x .

Funksioni gjenerues eksponencial i numrave Bell është funksioni eksponencial i paraardhësit të funksionit eksponencial:

$\exp (\exp x-1)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_n}{n!}{x}^n$

Logaritmi natyror

Logaritmi natyror (me bazën e ) ka seri Maklauren

$\begin{array}{cc}\ln (1-x)& =-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots ,\\ \ln (1+x)& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots .\end{array}$

Ato konvergjojnë për $|x|<1$ . (Përveç kësaj, seria për $\ln (1-x)$ konvergjon për x = −1, dhe seria për $\ln (1+x)$ konvergjon për x = 1 . )

Seria gjeometrike

Seria gjeometrike dhe derivatet e saj kanë seri Maklauren

$\begin{array}{cc}\frac{1}{1-x}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n\\ \frac{1}{(1-x{)}^2}& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{x}^{n-1}\\ \frac{1}{(1-x{)}^3}& =\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(n-1)n}{2}{x}^{n-2}.\end{array}$

Të gjitha janë konvergjente për $|x|<1$ . Këto janë raste të veçanta të serisë binomale të dhëna në seksionin vijues.

Seria binomiale

Seria binomiale është seria e fuqisë$$(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n$$koeficientët e të cilëve janë koeficientët binomialë të përgjithësuar$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\prod _{k=1}^n\frac{\alpha -k+1}{k}=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}.$$(Nëse n = 0, ky produkt është një produkt bosh dhe ka vlerën 1. ) Konvergjon për $|x|<1$ për çdo numër real ose kompleks α .

Kur α = -1, kjo është në thelb seria e pafundme gjeometrike e përmendur në pjesën e mëparshme. Rastet e veçanta α = 1/2 dhe a = -1/2 japin rrënjën katrore dhe një ndaj rrënjës katrore:$$\begin{array}{cccc}(1+x{)}^{\frac{1}{2}}& =1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3-\frac{5}{128}{x}^4+\frac{7}{256}{x}^5-\cdots & & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n-1)}{x}^n,\\ (1+x{)}^{-\frac{1}{2}}& =1-\frac{1}{2}x+\frac{3}{8}{x}^2-\frac{5}{16}{x}^3+\frac{35}{128}{x}^4-\frac{63}{256}{x}^5+\cdots & & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{4^n(n!{)}^2}{x}^n.\end{array}$$Kur ruhet vetëm termi linear, kjo thjeshton përafrimin binomial .

Funksionet trigonometrike

Funksionet e zakonshme trigonometrike dhe të anasjelltët e tyre kanë seritë e mëposhtme të Maclaurin:

$\begin{array}{cccccc}\sin x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{x}^{2n+1}& & =x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots & & \text{for all }x\\ \cos x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{x}^{2n}& & =1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots & & \text{for all }x\\ \tan x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}(-4{)}^n(1-4^n)}{(2n)!}{x}^{2n-1}& & =x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\cdots & & \text{for }|x|<\frac{\pi }{2}\\ \sec x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{E}_{2n}}{(2n)!}{x}^{2n}& & =1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots & & \text{for }|x|<\frac{\pi }{2}\\ \arcsin x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}& & =x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots & & \text{for }|x|\le 1\\ \arccos x& =\frac{\pi }{2}-\arcsin x\\ & =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}& & =\frac{\pi }{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}-\cdots & & \text{for }|x|\le 1\\ \arctan x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n+1}& & =x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots & & \text{for }|x|\le 1,x\ne \pm i\end{array}$

Të gjitha këndet janë të shprehura në radianë . Numrat $B_k$që shfaqen në zgjerimet e $\tan (x)$ janë numrat e Bernulit . $E_k$ në zgjerimin e $\sec (x)$ janë numrat e Eulerit .

Funksionet hiperbolike

Funksionet hiperbolike kanë serinë Maklauren të lidhura ngushtë me serinë për funksionet trigonometrike përkatëse:

$\begin{array}{cccccc}\sinh x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}& & =x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots & & \text{for all }x\\ \cosh x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n}}{(2n)!}& & =1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots & & \text{for all }x\\ \tanh x& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2n}{4}^n(4^n-1)}{(2n)!}{x}^{2n-1}& & =x-\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-\frac{17x^7}{315}+\cdots & & \text{for }|x|<\frac{\pi }{2}\\ \mathrm{arsinh}x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}& & =x-\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}-\cdots & & \text{for }|x|\le 1\\ \mathrm{artanh}x& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}& & =x+\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+\cdots & & \text{for }|x|\le 1,x\ne \pm 1\end{array}$

Numrat $B_k$ që shfaqen në serinë për$\tanh (x)$ janë numrat e Bernulit .

Funksionet polilogaritmike

Pollogaritmet kanë këto identitete përcaktuese:

${\text{Li}}_2(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}{x}^n$

${\text{Li}}_3(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}{x}^n$

Funksionet Legendre hi përcaktohen si më poshtë:

${\chi }_2(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1{)}^2}{x}^{2n+1}$

${\chi }_3(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(2n+1{)}^3}{x}^{2n+1}$

Dhe formulat e paraqitura më poshtë quhen integrale tangjente të anasjellta :

${\text{Ti}}_2(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}{x}^{2n+1}$

${\text{Ti}}_3(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^3}{x}^{2n+1}$

Në termodinamikën statistikore këto formula kanë një rëndësi të madhe.

Llogaritja e serisë Taylor

Ekzistojnë disa metoda për llogaritjen e serive të Tejlorit të një numri të madh funksionesh. Dikush mund të përpiqet të përdorë përkufizimin e serisë Tejlor, megjithëse kjo shpesh kërkon përgjithësimin e formës së koeficientëve sipas një modeli lehtësisht të dukshëm. Përndryshe, mund të përdoren manipulime të tilla si zëvendësimi, shumëzimi ose pjesëtimi, shtimi ose zbritja e serive standarde Tejlor për të ndërtuar serinë gjegjëse të një funksioni, për shkak se seria Tejlor është seri e fuqisë. Në disa raste, mund të nxirret edhe seria Tejlor duke aplikuar në mënyrë të përsëritur integrimin sipas pjesëve . Veçanërisht i përshtatshëm është përdorimi i sistemeve kompjuterike algjebër për të llogaritur seritë në fjalë.

Shembulli i parë

Për të llogaritur polinomin Meklauren të shkallës së 7-të për funksionin

$f(x)=\ln (\cos x),x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ ,

së pari mund të rishkruhet funksioni si

$f(x)=\ln (1+(\cos x-1))$ .

Seria Tejlor për logaritmin natyror është (duke përdorur shënimin e madh O )

$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+O\left(x^4\right)$

dhe për funksionin kosinus

$\cos x-1=-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O\left(x^8\right)$ .

Zgjerimi i serisë së fundit ka një term konstant zero, i cili na mundëson të zëvendësojmë serinë e dytë me të parën dhe të zbresim lehtësisht termat e rendit më të lartë se shkalla e 7-të duke përdorur shënimin e madh O :

$\begin{array}{cc}f(x)& =\ln (1+(\cos x-1))\\ & =(\cos x-1)-\frac{1}{2}(\cos x-1{)}^2+\frac{1}{3}(\cos x-1{)}^3+O((\cos x-1{)}^4)\\ & =(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+O\left(x^8\right))-\frac{1}{2}{(-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O\left(x^6\right))}^2+\frac{1}{3}{(-\frac{x^2}{2}+O\left(x^4\right))}^3+O\left(x^8\right)\\ & =-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}-\frac{x^4}{8}+\frac{x^6}{48}-\frac{x^6}{24}+O\left(x^8\right)\\ & =-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{12}-\frac{x^6}{45}+O\left(x^8\right).\end{array}$

Meqenëse kosinusi është një funksion çift, koeficientët për të gjitha fuqitë $x^1,x^3,x^5,x^7$ ... duhet të jenë zero.

Shembulli i dytë

Supozoni se duam serinë e Tejlorit në 0 të funksionit

$g(x)=\frac{e^x}{\cos x}.$

Kemi për funksionin eksponencial

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$

dhe, si në shembullin e parë,

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$

Supozoni se seria e fuqisë është

$\frac{e^x}{\cos x}=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+c_3{x}^3+\cdots$

Pastaj shumëzimi me emëruesin dhe zëvendësimi i serisë së kosinusit jep

$\begin{array}{cc}{e}^x& =(c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+c_3{x}^3+\cdots )\cos x\\ & =(c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+c_3{x}^3+c_4{x}^4+\cdots )(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots )\\ & =c_0-\frac{c_0}{2}{x}^2+\frac{c_0}{4!}{x}^4+c_{1}x-\frac{c_1}{2}{x}^3+\frac{c_1}{4!}{x}^5+c_2{x}^2-\frac{c_2}{2}{x}^4+\frac{c_2}{4!}{x}^6+c_3{x}^3-\frac{c_3}{2}{x}^5+\frac{c_3}{4!}{x}^7+c_4{x}^4+\cdots \end{array}$

Mbledhja e termave deri në rendin e katërt jep

$e^x=c_0+c_{1}x+(c_2-\frac{c_0}{2})x^2+(c_3-\frac{c_1}{2})x^3+(c_4-\frac{c_2}{2}+\frac{c_0}{4!})x^4+\cdots$

Vlerat e $c_i$ mund të gjendet duke krahasuar koeficientët me shprehjen e sipërme për $e^x$, duke dhënë:

$\frac{e^x}{\cos x}=1+x+x^2+\frac{2x^3}{3}+\frac{x^4}{2}+\cdots .$

Shembull

Përafrimi i serisë së Tejlorit të rendit të dytë (në portokalli) i një funksioni $f(x,y)=e^x\ln 1+y$ rreth origjinës.

Për të llogaritur një zgjerim të serisë Taylor të rendit të dytë rreth pikës $(a,b)=(0,0)$ të funksionit

$f(x,y)=e^x\ln (1+y),$

së pari llogariten të gjitha derivatet e nevojshme të pjesshme:

$\begin{array}{cc}{f}_x& =e^x\ln (1+y)\\ f_y& =\frac{e^x}{1+y}\\ f_{xx}& =e^x\ln (1+y)\\ f_{yy}& =-\frac{e^x}{(1+y{)}^2}\\ f_{xy}& =f_{yx}=\frac{e^x}{1+y}.\end{array}$

Vlerësimi i këtyre derivateve në origjinë jep koeficientët e Tejlorit

$\begin{array}{cc}{f}_x(0,0)& =0\\ f_y(0,0)& =1\\ f_{xx}(0,0)& =0\\ f_{yy}(0,0)& =-1\\ f_{xy}(0,0)& =f_{yx}(0,0)=1.\end{array}$

Zëvendësimi i këtyre vlerave në formulën e përgjithshme

$\begin{array}{cc}T(x,y)=& f(a,b)+(x-a)f_x(a,b)+(y-b)f_y(a,b)\\ & +\frac{1}{2!}((x-a{)}^2{f}_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b{)}^2{f}_{yy}(a,b))+\cdots \end{array}$

jep

$\begin{array}{cc}T(x,y)& =0+0(x-0)+1(y-0)+\frac{1}{2}(0(x-0{)}^2+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0{)}^2)+\cdots \\ & =y+xy-\frac{1}{2}{y}^2+\cdots \end{array}$

Meqenëse $\ln (1+y)$ është analitike në $|y|<1$, kemi

$e^x\ln (1+y)=y+xy-\frac{1}{2}{y}^2+\cdots ,|y|<1.$