Transformimi i Hilbertit

Në matematikë dhe përpunimin e sinjalit, transformimi i Hilbertit është një integral specifik njëjës që merr një funksion, u(t) të një ndryshoreje reale dhe prodhon një funksion tjetër të një ndryshoreje reale Stampa:Math. Transformimi i Hilbertit jepet nga vlera kryesore Koshi e konvolucionit me funksionin $1/(\pi t)$ (shih Stampa:Section link ). Transformimi i Hilbertit ka një paraqitje veçanërisht të thjeshtë në rrafshin e frekuencës : Ai jep një zhvendosje fazore prej ±90° ( π/2 radian) për çdo përbërës frekuence të një funksioni, shenjën e zhvendosjes në varësi të shenjës së frekuencës (shih Stampa:Section link ). Transformimi i Hilbertit është i rëndësishëm në përpunimin e sinjalit, ku është një përbërës i paraqitjes analitike të një sinjali me vlerë reale u(t) . Transformimi i Hilbertit u prezantua për herë të parë nga David Hilbert në këtë mjedis, për të zgjidhur një rast të veçantë të problemit Riemann-Hilbert për funksionet analitike.

E ç'është transformimi i Hilbertit

Transformimi i Hilbertit i u mund të konsiderohet si konvolucioni i Stampa:Math me funksionin të njohur si bërthama e Hilbertit. Meqënëse funksioni 1/t nuk është i integrueshëm në pikën 0, integrali nuk konvergjon gjithmonë. Kështu transformimi i Hilbertit përcaktohet me anë të vlerës parësore Koshi (të shënuar me p.v)

$$\mathrm{H}(u)(t)=\frac{1}{\pi }\mathrm{p.v.}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u(\tau )}{t-\tau }\mathrm{d}\tau ,$$

me kusht që ky integral të ekzistojë si vlerë parësore. Ky është pikërisht konvolucioni i u me shpërndarjen e kalitur p.v. $h(t)=\frac{1}{\pi t}$.

$$\mathrm{H}(u)(t)=\frac{2}{\pi }\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{\epsilon }{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u(t-\tau )-u(t+\tau )}{2\tau }\mathrm{d}\tau .$$

Kur transformimi Hilbert zbatohet dy herë radhazi mbi një funksion u, rezultati është

$$\mathrm{H}(\mathrm{H}(u))(t)=-u(t),$$

Marrëdhënia me transformimin e Furjesë

Transformimi Hilbert është një operator shumëzues . Stampa:Sfn Shumëzuesi i H është Stampa:Math, ku sgn është funksioni signum . Prandaj:

$$ℱ(\mathrm{H}(u))(\omega )=-i\mathrm{sgn}(\omega )\cdot ℱ(u)(\omega ),$$

ku $ℱ$ tregon transformimin Furier. Meqenëse sgn(x ) = sgn(2 π x ), rrjedh se ky rezultat vlen për tre përkufizimet e zakonshme të $ℱ$ .

Sipas formulës së Euler-it, $${\sigma }_{\mathrm{H}}(\omega )=\{\begin{array}{cc}i=e^{+i\pi /2},& \text{for }\omega <0,\\ 0,& \text{for }\omega =0,\\ -i=e^{-i\pi /2},& \text{for }\omega >0.\end{array}$$

Tabela e transformimeve të përzgjedhura të Hilbertit

Në tabelën e mëposhtme, parametri i frekuencës $\omega$ është e vërtetë.

Sinjali $u(t)$	Transformimi i Hilbertit $\mathrm{H}(u)(t)$
$\sin (\omega t+\phi )$	$\begin{array}{c}\sin (\omega t+\phi -\frac{\pi }{2})=-\cos (\omega t+\phi ),\omega >0\\ \sin (\omega t+\phi +\frac{\pi }{2})=\cos (\omega t+\phi ),\omega <0\end{array}$
$\cos (\omega t+\phi )$	$\begin{array}{c}\cos (\omega t+\phi -\frac{\pi }{2})=\sin (\omega t+\phi ),\omega >0\\ \cos (\omega t+\phi +\frac{\pi }{2})=-\sin (\omega t+\phi ),\omega <0\end{array}$
$e^{i\omega t}$	$\begin{array}{c}{e}^{i(\omega t-\frac{\pi }{2})},\omega >0\\ e^{i(\omega t+\frac{\pi }{2})},\omega <0\end{array}$
$e^{-i\omega t}$	$\begin{array}{c}{e}^{-i(\omega t-\frac{\pi }{2})},\omega >0\\ e^{-i(\omega t+\frac{\pi }{2})},\omega <0\end{array}$
$\frac{1}{t^2+1}$	$\frac{t}{t^2+1}$
$e^{-t^2}$	$\frac{2}{\sqrt{\pi }}F(t)$ (shiko funksioni i Dawsonit)
Funksioni sinc $\frac{\sin (t)}{t}$	$\frac{1-\cos (t)}{t}$
Funksioni delta i Dirakut $\delta (t)$	$\frac{1}{\pi t}$
Funksioni tregues ${\chi }_{[a,b]}(t)$	$\frac{1}{\pi }\ln \left|\frac{t-a}{t-b}\right|$