Dekompozimi i Helmholcit

Në matematikë, në degën e analizës vektoriale, Teorema e Helmholcit, e njohur gjithashtu si teorema themelore e analizës vektoriale, pohon se një fushe vektoriale e lëmuar mjaftueshëm, qe zvogëlohet eksponencialisht mund te ndahet ne komponente të fushës vektoriale irrotacionale dhe solenoidale (pa divergjence).

Kjo implikon që çdo fushe vektoriale $𝐅$ mund të konsiderohet si e përberë nga një çift potencialesh : një potencial skalar $\varphi$ dhe një potenciali vektorial $𝐀$.

Dekompozimi rezultues i Helmholcit i një fushe vektoriale, e cila është dy herë e diferencueshme dhe kaq e shpejte sa të veje në zero në infinit, e ndan fushën vektoriale në një shumë të një gradienti dhe të rrotacioni si më poshtë :

$𝐅=-\mathrm{\nabla }𝒢(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)+\mathrm{\nabla }\times 𝒢(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)$

ku $𝒢$ tregon operatorin e potencialit Njutonian.

Nëqoftese $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅=0$, në themi së $𝐅$ është një fushe solenoidale pa divergjence dhe dekompozimi i Helmholcit i $𝐅$ bie në

$𝐅=\mathrm{\nabla }\times 𝒢(\mathrm{\nabla }\times 𝐅)=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

Në këtë rast, $𝐀$ njihet si potenciali vektorial për $𝐅$.

Njësoj, nëqoftese $\mathrm{\nabla }\times 𝐅=\mathrm{𝟎}$ atëherë $𝐅$ thuhet se është pa rrotacion ose irrotacionale kështu që dekompozimi i Helmholcit i $𝐅$ shndërrohet në

$𝐅=-\mathrm{\nabla }𝒢(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅)=-\mathrm{\nabla }\varphi .$

Në këtë rast, $\varphi$ njihet si potenciali skalar për $𝐅$.

Në përgjithësi gradienti negativ i potencialit skalar barazohet me komponentin irrotacional, dhe rrotacioni i potencialit vektorial barazohet me komponentin solenoidal :

$𝐅=-\mathrm{\nabla }\varphi +\mathrm{\nabla }\times 𝐀$.

Aplikimi tek format diferenciale

Dekompozimi i Hodge përgjithësohet në dekompozimin e Helmholcit nga fushat vektoriale në format diferenciale.

Referime

Referime te përgjithshme

• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 4th edition, Academic Press: San Diego (1995) pp. 92-93
• George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists International Edition, 6th edition, Academic Press: San Diego (2005) pp. 95-101

Referime për formulimin e dobët

• C. Amrouche, C. Bernardi, M. Dauge, and V. Girault. "Vector potentials in three dimensional non-smooth domains." Mathematical Methods in the Applied Sciences, 21, 823–864, 1998.
• R. Dautray and J.-L. Lions. Spectral Theory and Applications, volume 3 of Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science and Technology. Springer-Verlag, 1990.
• V. Girault and P.A. Raviart. Finite Element Methods for Navier-Stokes Equations: Theory and Algorithms. Springer Series in Computational Mathematics. Springer-Verlag, 1986.

Lidhje te jashtme

• Helmholtz theorem on MathWorld