Ekuacioni Marchenko

Në fizikën matematike, më konkretisht problemi njëdimensional i shpërndarjes së anasjelltë, ekuacioni Marchenko (ose ekuacioni GLM ), i emërtuar sipas matematikanëve Israel Gelfand, Boris Levitan dhe Vladimir Marchenko, rrjedh duke llogaritur transformimin Furier të relacionit të shpërndarjes:

$K(r,r^{\prime })+g(r,r^{\prime })+\underset{r}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}K(r,r^{\prime \prime })g(r^{\prime \prime },r^{\prime })\mathrm{d}{r}^{\prime \prime }=0$

Ku $g(r,r^{\prime })$ është një bërthamë simetrike, e tillë që vlen vetia simetrike $g(r,r^{\prime })=g(r^{\prime },r),$ e cila llogaritet nga të dhënat e shpërndarjes. Duke zgjidhur ekuacionin Marchenko, fitohet bërthama e operatorit të transformimit $K(r,r^{\prime })$ nga i cili mund të lexohet potenciali. Ky ekuacion rrjedh nga ekuacioni integral Gelfand-Levitan, duke përdorur paraqitjen Povzner-Levitan .

Zbatim në teorinë e shpërndarjes

Supozoni se për një potencial $u(x)$ për operatorin e Schrödingerit $L=-\frac{d^2}{d{x}^2}+u(x)$, merren të dhënat e shpërndarjes $(r(k),\{{\chi }_1,\cdots ,{\chi }_N\})$, ku $r(k)$ janë koeficientët e reflektimit nga shpërhapja e vazhdueshme, të dhëna në funksion $r:ℝ\to ℂ$, dhe parametrat realë ${\chi }_1,\cdots ,{\chi }_N>0$ janë nga spektri i kufizuar diskret.

Atëherë përcaktohet$$F(x)=\sum _{n=1}^N{\beta }_n{e}^{-{\chi }_{n}x}+\frac{1}{2\pi }\underset{ℝ}{\int }r(k)e^{ikx}dk,$$ku ${\beta }_n$ janë konstante jo zero, që janë zgjidhje për ekuacionin GLM$$K(x,y)+F(x+y)+\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}K(x,z)F(z+y)dz=0$$për $K$ lejon rikuperimin e potencialit duke përdorur formulën$$u(x)=-2\frac{d}{dx}K(x,x).$$