Ekuacioni i Puasonit

Siméon Denis Poisson

Ekuacioni i Poisson-it është një ekuacion diferencial i pjesshëm eliptik me dobi të gjerë në fizikën teorike . Për shembull, zgjidhja e ekuacionit të Puasonit është fusha potenciale e shkaktuar nga një ngarkesë elektrike e caktuar ose shpërndarja e dëndësisë së masës; me një fushë potenciale të njohur, atëherë mund të llogaritet fusha elektrostatike ose gravitacionale (e forcës). Është një përgjithësim i ekuacionit të Laplasit, i cili gjithashtu shihet shpesh në fizikë. Ekuacioni është emërtuar sipas matematikanit dhe fizikantit francez Siméon Denis Poisson .

Deklarata e ekuacionit

ku integrali është mbi të gjithë hapësirën.$$\phi (𝐫)=-\iiint \frac{f({𝐫}^{\prime })}{4\pi |𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{\mathrm{d}}^3{r}^{\prime },$$Ekuacioni i Poisson-it është$$\mathrm{\Delta }\phi =f,$$Në koordinatat karteziane tredimensionale, ai merr formën$${\mathrm{\nabla }}^2\phi =f.$$Kur $f=0$ në mënyrë identike, marrim ekuacionin e Laplasit .

Ekuacioni i Poisson-it mund të zgjidhet duke përdorur funksionin e Grinit :$$(\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2})\phi (x,y,z)=f(x,y,z).$$

Graviteti Njutonian

Në rastin e një fushe gravitacionale g për shkak të një objekti tërheqës masiv me dëndësi ρ, ligji i Gausit për gravitetin në formë diferenciale mund të përdoret për të marrë ekuacionin përkatës të Poisson-it për gravitetin:$$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐠=-4\pi G\rho .$$Meqenëse fusha gravitacionale është konservatore (dhe jorrotulluese ), ajo mund të shprehet në termat e një potenciali skalar ϕ :$$𝐠=-\mathrm{\nabla }\varphi .$$Duke e zëvendësuar këtë në ligjin e Gausit,$$\mathrm{\nabla }\cdot (-\mathrm{\nabla }\varphi )=-4\pi G\rho ,$$jep ekuacionin e Puasonit për gravitetin:$${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =4\pi G\rho .$$Nëse dendësia e masës është zero, ekuacioni i Puasonit reduktohet në ekuacionin e Laplasit. Funksioni përkatës i Grinit mund të përdoret për të llogaritur potencialin në distancën r nga një masë pikësore qendrore m (dmth. zgjidhja themelore ). Në tre dimensione potenciali është$$\varphi (r)=\frac{-Gm}{r},$$

Dinamika e lëngjeve

Për ekuacionet e pangjeshme Navier–Stokes, të dhëna nga$$\begin{array}{cc}\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐯& =-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+\nu \mathrm{\Delta }𝐯+𝐠,\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐯& =0.\end{array}$$Ekuacioni për fushën e presionit $p$ është një shembull i një ekuacioni jolinear Poisson:$$\begin{array}{cc}\mathrm{\Delta }p& =-\rho \mathrm{\nabla }\cdot (𝐯\cdot \mathrm{\nabla }𝐯)\\ & =-\rho \mathrm{Tr}((\mathrm{\nabla }𝐯)(\mathrm{\nabla }𝐯)).\end{array}$$