Funksioni beta

Grafiku konturor i funksionit beta

Në matematikë, funksioni beta, i quajtur edhe integrali i Eulerit i llojit të parë, është një funksion i veçantë që lidhet ngushtë me funksionin gama dhe me koeficientët binomialë . Përcaktohet nga integrali

$\mathrm{B}(z_1,z_2)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{z_1-1}(1-t{)}^{z_2-1}dt$

për hyrjet e numrave kompleksë $z_1,z_2$ sikurse $\mathrm{\Re }(z_1),\mathrm{\Re }(z_2)>0$ .

Vetitë

Funksioni beta është simetrik, që do të thotë se $\mathrm{B}(z_1,z_2)=\mathrm{B}(z_2,z_1)$ për të gjitha inputet $z_1$ dhe $z_2$ .

Një veti kryesore e funksionit beta është marrëdhënia e tij e ngushtë me funksionin gama :

$\mathrm{B}(z_1,z_2)=\frac{\mathrm{\Gamma }(z_1)\mathrm{\Gamma }(z_2)}{\mathrm{\Gamma }(z_1+z_2)}.$

Përafrim

Përafrimi i Stirlingut jep formulën asimptotike

$\mathrm{B}(x,y)\sim \sqrt{2\pi }\frac{x^{x-1/2}{y}^{y-1/2}}{(x+y{)}^{x+y-1/2}}$

për x dhe y të mëdha.