Harta lineare

Në matematikë, dhe më konkretisht në algjebër lineare, një hartë lineare (e quajtur edhe një hartografi lineare, transformim linear, homomorfizëm i hapësirës vektoriale, ose në disa kontekste funksion linear ) është një hartë

V \to W

ndërmjet dy hapësirave vektoriale që ruan veprimet e mbledhjes së vektorit dhe shumëzimit skalar . Të njëjtët emra dhe i njëjti përkufizim përdoren gjithashtu për rastin më të përgjithshëm të moduleve mbi një unazë ; shih homomorfizmin e modulit .

$The function f : R 2 → R 2 {\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} with f ( x , y ) = ( 2 x , y ) {\textstyle f(x,y)=(2x,y)} is a linear map. This function scales the x {\textstyle x} component of a vector by the factor 2 {\textstyle 2} .$

Funksioni $f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ with $f (x, y) = (2 x, y)$ është një hartë lineare. Ky funksion shkallëzon përbërësin $x$ të një vektori me faktor $2$ .
$The function f ( x , y ) = ( 2 x , y ) {\textstyle f(x,y)=(2x,y)} is additive: It does not matter whether vectors are first added and then mapped or whether they are mapped and finally added: f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) {\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$

Funksioni $f (x, y) = (2 x, y)$ është mbledhës: Nuk ka rëndësi nëse vektorët mblidhen në fillim dhe pastaj hartëzohen ose anasjelltas: $f (𝐚 + 𝐛) = f (𝐚) + f (𝐛)$
$The function f ( x , y ) = ( 2 x , y ) {\textstyle f(x,y)=(2x,y)} is homogeneous: It does not matter whether a vector is first scaled and then mapped or first mapped and then scaled: f ( λ a ) = λ f ( a ) {\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

Funksioni $f (x, y) = (2 x, y)$ është homogjen: Nuk ka rëndësi nëse një vektor shkallëzohet në fillim dhe pastaj hartëzohet ose nëse hartëzohet në fillim pastaj shkallëzohet: $f (λ 𝐚) = λ f (𝐚)$

Nëse një hartë lineare është një bijeksion, atëherë ajo quhet një izomorfizëm linear. Në rastin kur

V = W

, një hartë lineare quhet endomorfizëm linear . Ndonjëherë termi operator linear i referohet këtij rasti, por termi "operator linear" mund të ketë kuptime të ndryshme për konventa të ndryshme: për shembull, mund të përdoret për të theksuar se

V

dhe

W

janë hapësira reale vektoriale (jo domosdoshmërisht me

V = W

), ose mund të përdoret për të theksuar këtë

V

është një hapësirë funksioni, e cila është një konventë e zakonshme në analizën funksionale . Ndonjëherë termi funksion linear ka të njëjtin kuptim si harta lineare, ndërsa në analizë jo.

Një hartë lineare nga $V$ te $W$ gjithmonë harton origjinën e $V$ tek origjina e $W$ . Për më tepër, ai harton nënhapësira lineare në $V$ në nënhapësira lineare në $W$ (ndoshta të një dimensioni më të ulët); ^[1] për shembull, ai harton një rrafsh përmes origjinës në $V$ në një aeroplan përmes origjinës në $W$ , një drejtëz përmes origjinës në $W$ , ose thjesht origjina në $W$ . Hartat lineare shpesh mund të përfaqësohen si matrica, dhe shembuj të thjeshtë përfshijnë transformime lineare të rrotullimit dhe reflektimit.

Në gjuhën e teorisë së kategorive, hartat lineare janë morfizma të hapësirave vektoriale, dhe ato formojnë një kategori të barabartë me atë të matricave .

Përkufizimi dhe pasojat e para

Le $V$ dhe $W$ të jenë hapësira vektoriale mbi të njëjtën fushë $K$ . Një funksion $f : V \to W$ thuhet se është një hartë lineare nëse për çdo dy vektorë $𝐮, 𝐯 \in V$ dhe çdo skalar $c \in K$ plotësohen dy kushtet e mëposhtme:

Mbledhshmëria / funksionimi i mbledhjes $f (𝐮 + 𝐯) = f (𝐮) + f (𝐯)$
Homogjeniteti i shkallës 1 / operacioni i shumëzimit skalar $f (c 𝐮) = c f (𝐮)$

Kështu, një hartë lineare thuhet se është ruan operacionin . Me fjalë të tjera, nuk ka rëndësi nëse harta lineare zbatohet para (anët e djathta të shembujve të mësipërm) apo pas (anët e majta të shembujve) veprimet e mbledhjes dhe shumëzimit skalar.

Nga vetia e shoqërimit të veprimit të mbledhjes i shënuar si +, për çdo vektor $𝐮_{1}, \dots, 𝐮_{n} \in V$ dhe skalarët $c_{1}, \dots, c_{n} \in K,$ vlen barazia e mëposhtme: ^[2] ^[3] $f (c_{1} 𝐮_{1} + \dots + c_{n} 𝐮_{n}) = c_{1} f (𝐮_{1}) + \dots + c_{n} f (𝐮_{n}) .$ Kështu, një hartë lineare është ajo që ruan kombinime lineare .

Shembuj

Një shembull prototipik që u jep hartave lineare emrin e tyre, është një funksion $f : ℝ \to ℝ : x \mapsto c x$ , grafiku i të cilit është një drejtëz përmes origjinës.^[4]
Në përgjithësi, çdo homoteti $𝐯 \mapsto c 𝐯$ e përqëndruar në origjinën e hapësirës vektoriale është një hartë lineare (këtu Stampa:Mvar është një skalar).
Harta zero $𝐱 \mapsto 𝟎$ midis dy hapësirave vektoriale (mbi të njëjtën fushë) është lineare.
Harta identitet mbi çdo modul është një operator linear.
Për numrat realë, harta $x \mapsto x^{2}$ nuk është lineare.
Për numrat realë, harta $x \mapsto x + 1$ nuk është lineare (por është një transformim afin).
Nëse $A$ është një matricë $m \times n$ , atëherë $A$ është një hartë lineare nga $ℝ^{n}$ në $ℝ^{m}$ duke çuar një vektor shtyllë $𝐱 \in ℝ^{n}$ tek vektori shtyllë $A 𝐱 \in ℝ^{m}$ .
Nëse $f : V \to W$ është një izometri midis hapësirave të normuara reale të tilla që $f (0) = 0$ atëherë $f$ është një hartë lineare. Ky rezultat përgjithësisht nuk vlen për hapësirat e normuara komplekse.Stampa:Sfn
Diferencimi përkufizon një hartë lineare nga hapësira e të gjithë funksioneve të derivueshëm tek hapësira e të gjithë funksioneve. Dhe në të vërtetë, $\frac{d}{d x} (a f (x) + b g (x)) = a \frac{d f (x)}{d x} + b \frac{d g (x)}{d x} .$
Një integral i caktuar mbi një interval Stampa:Mvar është një hartë lineare nga hapësira e të gjithë funksioneve të integrueshëm me vlera reale nga Stampa:Mvar në $ℝ$ . Dhe në të vërtetë, $\int_{u}^{v} (a f (x) + b g (x)) d x = a \int_{u}^{v} f (x) d x + b \int_{u}^{v} g (x) d x .$
Një integral i pacaktuar (ose antiderivat) me një pikë integrimi të caktuar fillestare përkufizon një hartë lineare nga hapësira e të gjithë funksioneve të integrueshëmme vlera reale në $ℝ$ tek hapësira e të gjithë funksioneve të diferencueshëm me vlera reale në $ℝ$ . Pa një pikë fillimi fikse, integrali i pacaktuar hartëzon në hapësirën e herësit të funksioneve të diferencueshme nga hapësira lineare e funksioneve konstante .
Nëse $V$ dhe $W$ janë hapësira vektoriale me dimensione të fundme mbi një fushë Stampa:Mvar, me dimensione respektive Stampa:Mvar dhe Stampa:Mvar, atëherë funksioni hartëzon hartat linerae $f : V \to W$ drejt matricave Stampa:Math në mënyrën e përshkruar tek Stampa:Section link (më poshtë) është një hartë lineare.
Pritja matematike e një ndryshoreje rasti (që në fakt është një funksion, dhe si i tillë një element i një hapësire vektoriale) është lineare, sepse për ndryshoret e rastit $X$ dhe $Y$ marrim $E [X + Y] = E [X] + E [Y]$ dhe $E [a X] = a E [X]$ , por varianca e një ndryshoreje rasti nuk është lineare.

$The function f : R 2 → R 2 {\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} with f ( x , y ) = ( 2 x , y ) {\textstyle f(x,y)=(2x,y)} is a linear map. This function scales the x {\textstyle x} component of a vector by the factor 2 {\textstyle 2} .$

Funksioni $f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ me $f (x, y) = (2 x, y)$ është një hartë lineare. Ky funksion shkallëzon përbërësin $x$ të një vektori me faktor $2$ .
$The function f ( x , y ) = ( 2 x , y ) {\textstyle f(x,y)=(2x,y)} is additive: It does not matter whether vectors are first added and then mapped or whether they are mapped and finally added: f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) {\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$

Funksioni $f (x, y) = (2 x, y)$ është mbledhës: Nuk ka rëndësi nëse vektorët mblidhen në fillim pastaj hartëzohen ose hartëzohen pastaj mblidhen : $f (𝐚 + 𝐛) = f (𝐚) + f (𝐛)$
$The function f ( x , y ) = ( 2 x , y ) {\textstyle f(x,y)=(2x,y)} is homogeneous: It does not matter whether a vector is first scaled and then mapped or first mapped and then scaled: f ( λ a ) = λ f ( a ) {\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

Funksioni $f (x, y) = (2 x, y)$ është homogjen: Nuk ka rëndësi nëse një vektor shkallëzohet në fillim dhe pastaj hartëzohet ose hartëzohetdhe pastaj shkallëzohet: $f (λ 𝐚) = λ f (𝐚)$

Matricat

Nëse $V$ dhe $W$ janë hapësira vektoriale me dimensione të fundme dhe përcaktohet një bazë për secilën hapësirë vektoriale, pastaj çdo hartë lineare nga $V$ te $W$ mund të përfaqësohet nga një matricë . ^[5] Kjo është e dobishme sepse lejon llogaritjet konkrete. Matricat japin shembuj të hartave lineare: nëse $A$ është një e vërtetë $m \times n$ matricë, atëherë $f (𝐱) = A 𝐱$ përshkruan një hartë lineare $ℝ^{n} \to ℝ^{m}$ (shih hapësirën Euklidiane ).

Nëse $f : V \to W$ është një hartë lineare, $f (𝐯) = f (c_{1} 𝐯_{1} + \dots + c_{n} 𝐯_{n}) = c_{1} f (𝐯_{1}) + \dots + c_{n} f (𝐯_{n}),$

që implikon se funksioni f përcaktohet tërësisht nga vektorët $f (𝐯_{1}), \dots, f (𝐯_{n})$ . Tani le ${𝐰_{1}, \dots, 𝐰_{m}}$ të jetë bazë për $W$ . Atëherë ne mund të përfaqësojmë çdo vektor $f (𝐯_{j})$ si $f (𝐯_{j}) = a_{1 j} 𝐰_{1} + \dots + a_{m j} 𝐰_{m} .$

Matricat e një transformimi linear mund të përfaqësohen vizualisht:

Matrica për $T$ në lidhje me $B$ : $A$
Matrica për $T$ në lidhje me $B^{'}$ : $A^{'}$
Matrica e tranzicionit nga $B^{'}$ te $B$ : $P$
Matrica e tranzicionit nga $B$ te $B^{'}$ : $P^{- 1}$

Skeda:Linear transformation visualization.svg

Marrëdhënia midis matricave në një transformim linear

Shembuj në dy dimensione

Në hapësirën dydimensionale, hartat lineare R përshkruhen me matrica 2 × 2. Këto janë disa shembuj:

rrotullimi
- me 90 gradë në të kundërt të akrepave të orës: $𝐀 = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$
- me një kënd θ në të kundërt të akrepave të orës: $𝐀 = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix})$
reflektimi
- përmes boshtit x : $𝐀 = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})$
- përmes boshtit y : $𝐀 = (\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$
- përmes një drejtëze që krijon një kënd θ me origjinën: $𝐀 = (\begin{matrix} \cos 2 θ & \sin 2 θ \\ \sin 2 θ & - \cos 2 θ \end{matrix})$
Shkallëzimi me 2 në të gjitha drejtimet: $𝐀 = (\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}) = 2 𝐈$
Harta e prerjes horizontale : $𝐀 = (\begin{matrix} 1 & m \\ 0 & 1 \end{matrix})$
animi i boshtit y nga një kënd θ : $𝐀 = (\begin{matrix} 1 & - \sin θ \\ 0 & \cos θ \end{matrix})$
harta e shtrydhjes : $𝐀 = (\begin{matrix} k & 0 \\ 0 & \frac{1}{k} \end{matrix})$
projeksioni në boshtin y : $𝐀 = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .$

Nëse një hartë lineare përbëhet vetëm nga rrotullim, reflektim dhe/ose shkallëzim uniform, atëherë harta lineare është një transformim linear konform .

Zbatimet

Një zbatim specifik i hartave lineare është për transformimet gjeometrike, si ato të kryera në grafikën kompjuterike, ku përkthimi, rrotullimi dhe shkallëzimi i objekteve 2D ose 3D kryhet duke përdorur një matricë transformimi . Hartëzimi linear përdoret gjithashtu si një mekanizëm për përshkrimin e ndryshimit: për shembull në llogaritje korrespondojnë me derivatet; ose në relativitet, përdoret si një pajisje për të mbajtur gjurmët e transformimeve vendore të sitemeve të referimit.

Një aplikim tjetër i këtyre transformimeve është në optimizimin e përpiluesit të kodit të ndërthurur dhe në paralelizimin e teknikave të përpiluesit .

↑ Stampa:Harvnb

Here are some properties of linear mappings $Λ : X \to Y$ whose proofs are so easy that we omit them; it is assumed that $A \subset X$ and $B \subset Y$ :
↑ Stampa:Harvnb.
↑ Stampa:Harvnb.
↑ Stampa:Cite web
↑ Stampa:Harvnb

[1] Stampa:Harvnb

Here are some properties of linear mappings $Λ : X \to Y$ whose proofs are so easy that we omit them; it is assumed that $A \subset X$ and $B \subset Y$ :

[2] Stampa:Harvnb.

[3] Stampa:Harvnb.

[4] Stampa:Cite web

[5] Stampa:Harvnb

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Harta lineare

Përmbajtjet

Përkufizimi dhe pasojat e para

Shembuj

Matricat

Shembuj në dy dimensione

Zbatimet

Menuja e navigimit

Harta lineare

Përkufizimi dhe pasojat e para

Shembuj

Matricat

Shembuj në dy dimensione

Zbatimet

Menuja e navigimit

Kërko