Koeficienti

Në matematikë, një koeficient është një faktor shumëzues i përfshirë në një term të një polinomi, një serie ose çdo lloj shprehjeje tjetër. Mund të jetë një numër pa njësi, me ç'rast njihet si faktor numerik . Mund të jetë gjithashtu një konstante me njësi matëse, në të cilën njihet si shumëzues konstant . Në përgjithësi, koeficientët mund të jenë çdo shprehje (duke përfshirë ndryshoret si a, b dhe c ). Kur kombinimi i variablave dhe konstanteve nuk përfshihet domosdoshmërisht në një prodhim, ai mund të quhet një parametër . Për shembull, polinomi $2x^2-x+3$ ka koeficientët 2, −1 dhe 3, dhe fuqitë e ndryshores $x$ në polinom $a{x}^2+bx+c$ kanë parametra koeficienti $a$, $b$, dhe $c$ .

Një koeficient konstant , i njohur gjithashtu si term konstant ose thjesht konstante, është një madhësi ose e lidhur në mënyrë të heshtur me fuqinë zero të një ndryshoreje ose jo e bashkangjitur me ndryshore të tjera në një shprehje; për shembull, koeficientët konstante të shprehjeve të mësipërme janë numri 3 dhe parametri c, i përfshirë në 3 = c ⋅ x ⁰ . Koeficienti i bashkangjitur në shkallën më të lartë të ndryshores në një polinom të një ndryshore quhet koeficienti kryesor ; për shembull, në shprehjet e shembullit të mësipërm, koeficientët kryesorë janë përkatësisht 2 dhe a .

Terminologjia dhe përkufizimi

Në matematikë, një koeficient është një faktor shumëzues në disa terma të një polinomi, një serie ose ndonjë shprehjeje . Për shembull, në polinomin $$7x^2-3xy+1.5+y,$$ me ndryshore $x$ dhe $y$, dy termat e parë kanë koeficientët 7 dhe −3. Termi i tretë 1.5 është koeficienti konstant. Në termin përfundimtar, koeficienti është 1 dhe nuk shkruhet në mënyrë të qartë.

Çdo polinom në një ndryshore të vetme x mund të shkruhet si $$a_k{x}^k+\cdots +a_1{x}^1+a_0$$ për disa numra të plotë jonegativ $k$, ku $a_k,\dots ,a_1,a_0$ janë koeficientët. Kjo përfshin mundësinë që disa terma të kenë koeficientin 0; për shembull, në $x^3-2x+1$, koeficienti i $x^2$ është 0, dhe termi $0x^2$ nuk shfaqet në mënyrë eksplicite. Për më të mëdhenjtë $i$ të tilla që $a_i\ne 0$ (nëse ka), $a_i$ quhet koeficient prijës i polinomit. Për shembull, koeficienti kryesor i polinomit $$4x^5+x^3+2x^2$$ eshte 4.

Algjebër lineare

Në algjebër lineare, një sistem ekuacionesh lineare shpesh përfaqësohet nga matrica e koeficientëve të tij. Për shembull, sistemi i ekuacioneve $$\{\begin{array}{c}2x+3y=0\\ 5x-4y=0\end{array},$$ matrica e koeficientëve të lidhur është $\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 5& -4\end{array}\right).$ Matricat e koeficientëve përdoren në algoritme të tilla si eliminimi Gaussian dhe rregulli i Cramer-it për të gjetur zgjidhje për sistemin.

Hyrja kryesore (nganjëherë koeficienti kryesor ) i një rreshti në një matricë është hyrja e parë jozero në atë rresht. Kështu, për shembull, në matricë $$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 6\\ 0& 2& 9& 4\\ 0& 0& 0& 4\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$ koeficienti kryesor i rreshtit të parë është 1; ajo e rreshtit të dytë është 2; ai i rreshtit të tretë është 4, ndërsa rreshti i fundit nuk ka koeficient kryesor.