Konstantja normalizuese

Në teorinë e probabilitetit, një konstante normalizuese ose faktor normalizues përdoret për të reduktuar çdo funksion probabiliteti në një funksion të dendësisë së probabilitetit me probabilitet total njësi.

Në teoremën e Bejesit, një konstante normalizuese përdoret për të siguruar që shuma e të gjitha hipotezave të mundshme është e barabartë me 1. Përdorime të tjera të konstantave normalizuese përfshijnë bërjen e vlerës së një polinomi Lezhandrit në 1 dhe në ortogonalitetin e funksioneve ortonormale.

Një koncept i ngjashëm është përdorur në fusha të ndryshme të matematikës, si për shembull për polinomet.

Përkufizimi

Në teorinë e probabilitetit, një konstante normalizuese është një konstante me të cilën një funksion kudo jo negativ duhet të shumëzohet, që sipërfaqja nën grafikun e saj të jetë 1, p.sh., për ta bërë atë një funksion të dendësisë së probabilitetit ose një funksion të masës së probabilitetit .

Shembuj

Nëse nisemi nga funksioni i thjeshtë i Gausit$$p(x)=e^{-x^2/2},x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$$kemi integralin gausian përkatës$$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}p(x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi },$$Tani nëse përdorim vlerën reciproke të kësaj të fundit si një konstante normalizuese për të parën, duke përcaktuar një funksion $\phi (x)$ si$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}p(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$$në mënyrë që integrali i tij të jetë njësi$$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (x)dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}dx=1$$pastaj funksioni $\phi (x)$ është një funksion i dendësisë së probabilitetit. Kjo është dendësia e shpërndarjes normale standarde. ( Standardi, në këtë rast, do të thotë se pritja matematike është 0 dhe varianca është 1. )

Dhe konstante $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ është konstantja normalizuese e funksionit $p(x)$ .

Në mënyrë të ngjashme,$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\lambda }^n}{n!}=e^{\lambda },$$dhe rrjedhimisht$$f(n)=\frac{{\lambda }^n{e}^{-\lambda }}{n!}$$është një funksion i masës së probabilitetit në bashkësinë e të gjithë numrave të plotë jonegativë. Ky është funksioni i masës së probabilitetit të shpërndarjes Poisson me vlerën e pritur λ.

Përdorime jo probabiliste

Polinomet e Lezhandrit karakterizohen nga ortogonaliteti në lidhje me masën e njëtrajtshme në intervalin [−1, 1] dhe faktin që ato janë të normalizuara në mënyrë që vlera e tyre në 1 të jetë 1. Konstantja me të cilën shumëzohet një polinom, kështu që vlera e tij në 1 është një konstante normalizuese.

Funksionet ortonormale janë të normalizuara të tilla që$$⟨f_i,f_j⟩={\delta }_{i,j}$$në lidhje me disa prodhime të brendshme $<f,g>$ .

Konstantja $\frac{1}{\sqrt{2}}$ përdoret për të vendosur funksionet hiperbolike $\cosh$ dhe $\sinh$ nga gjatësitë e anëve fqinje dhe të kundërta të një trekëndëshi hiperbolik .