Kurtoza e tepërt

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, kurtoza (nga greqishtja κυρτός , kyrtos ose kurtos, që do të thotë "i lakuar, i harkuar") është një masë e "bishtësisë" së shpërndarjes së probabilitetit të një ndryshoreje të rastit me vlera reale . Ashtu si anshmëria, kurtoza përshkruan një tipar të veçantë të një shpërndarje probabiliteti. Ka mënyra të ndryshme për të përcaktuar sasinë e kurtozës për një shpërndarje teorike, dhe ka mënyra përkatëse për ta vlerësuar atë duke përdorur një kampion nga një popullatë. Masat e ndryshme të kurtozës mund të kenë interpretime të ndryshme.

Masa standarde e kurtozës së shpërndarjes, me origjinë nga Karl Pearson, është një version i shkallëzuar i momentit të katërt të shpërndarjes. Ky numër lidhet me bishtat e shpërndarjes, jo me kulmin e saj; prandaj, karakterizimi i parë ndonjëherë i kurtozës si " masë " është i pasaktë. Për këtë masë, kurtoza më e lartë korrespondon me ekstremitetin më të madh të devijimeve (ose të jashtme ), dhe jo me konfigurimin e të dhënave afër mesatares .

Momentet e Pearsonit

Kurtoza është momenti i katërt i standardizuar, i përcaktuar si

$\mathrm{Kurt}[X]=\mathrm{E}\left[{\left(\frac{X-\mu }{\sigma }\right)}^4\right]=\frac{\mathrm{E}[(X-\mu {)}^4]}{{(\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2])}^2}=\frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4},$

ku μ ₄ është momenti i katërt qendror dhe σ është devijimi standard . Në literaturë përdoren disa shkronja për të shënuar kurtozën. Një zgjedhje shumë e zakonshme është κ, e cila është e mirë për sa kohë që është e qartë se nuk i referohet një mbledhësi . Zgjedhje të tjera përfshijnë γ₂, që të jetë e ngjashme me shënimin e anshmërisë, megjithëse ndonjëherë kjo rezervohet për kurtozën e tepërt.

Kurtoza kufizohet më poshtë nga anshmëria në katror plus 1:

$\frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4}\ge {\left(\frac{{\mu }_3}{{\sigma }^3}\right)}^2+1,$

ku μ₃ është momenti i tretë qendror . Kufiri i poshtëm realizohet nga shpërndarja e Bernulit . Nuk ka kufi të sipërm për kurtozën e një shpërndarjeje të përgjithshme probabiliteti dhe mund të jetë e pafundme.

Një arsye pse disa autorë favorizojnë kurtozën e tepërt është se mbledhësit janë ekstensivë . Formulat që lidhen me vetinë ekstensive shprehen më natyrshëm në termat e kurtozës së tepërt. Për shembull, le të jenë $X_1,X_2,...,X_n$ ndryshore të rastit të pavarura për të cilat ekziston momenti i katërt dhe le të jetë $Y$ ndryshorja e rastit e përcaktuar nga shuma e $X_i$. Kurtoza e tepërt e $Y$ është

$\mathrm{Kurt}[Y]-3=\frac{1}{{\left(\sum _{j=1}^n{\sigma }_j^2\right)}^2}\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^4\cdot (\mathrm{Kurt}\left[X_i\right]-3),$

ku ${\sigma }_i$ është devijimi standard i $X_i$ . Në veçanti nëse të gjitha $X_i$ kanë të njëjtën variancë, atëherë kjo thjeshtohet në

$\mathrm{Kurt}[Y]-3=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n(\mathrm{Kurt}\left[X_i\right]-3).$

Arsyeja për të mos zbritur 3 është se momenti i katërt i zhveshur përgjithësohet më mirë në shpërndarjet shumëndryshore, veçanërisht kur pavarësia nuk supozohet. Bashkëkurtoza midis çifteve të ndryshoreve është tensori i rendit katër. Për një shpërndarje normale dyndryshore, tensori i kokurtozës ka terma jashtë diagonales që nuk janë as 0 as 3 në përgjithësi, kështu që përpjekja për të "korrigjuar" për një tepricë bëhet konfuze. Është e vërtetë, megjithatë, se mbledhësit e përbashkët të shkallës më të madhe se dy për çdo shpërndarje normale shumëndryshore janë zero.

Për dy ndryshore të rastit, $X$ dhe $Y$, jo domosdoshmërisht të pavarura, kurtoza e shumës, $X+Y$, është

$\begin{array}{cc}\mathrm{Kurt}[X+Y]=\frac{1}{{\sigma }_{X+Y}^4}(& {\sigma }_X^4\mathrm{Kurt}[X]+4{\sigma }_X^3{\sigma }_Y\mathrm{Cokurt}[X,X,X,Y]\\ & +6{\sigma }_X^2{\sigma }_Y^2\mathrm{Cokurt}[X,X,Y,Y]\\ & +4{\sigma }_X{\sigma }_Y^3\mathrm{Cokurt}[X,Y,Y,Y]+{\sigma }_Y^4\mathrm{Kurt}[Y]).\end{array}$

Interpretimi i Mursit

Në 1986 Mursi dha një interpretim të kurtozës. Le të jetë

$Z=\frac{X-\mu }{\sigma },$

ku $X$ është një ndryshore e rastit, $\mu$ është mesatarja dhe $\sigma$ është shmangia standarde.

Tani sipas përkufizimit të kurtozës $\kappa$, dhe nga identiteti i njohur $E\left[V^2\right]=\mathrm{var}[V]+[E[V]{]}^2,$

$\kappa =E\left[Z^4\right]=\mathrm{var}\left[Z^2\right]+{\left[E\left[Z^2\right]\right]}^2=\mathrm{var}\left[Z^2\right]+[\mathrm{var}[Z]{]}^2=\mathrm{var}\left[Z^2\right]+1$ .

Kurtoza tani mund të shihet si një masë e shpërndarjes së $Z^2$ rreth pritjes së saj. Përndryshe, mund të shihet se është një masë e shpërndarjes së $Z$ rreth +1 dhe −1. κ e arrin vlerën e saj minimale në një shpërndarje simetrike me dy pika. Për sa i përket ndryshores origjinale $X$, kurtoza është një masë e shpërndarjes së $X$ rreth dy vlerave $\mu \pm \sigma$ .

Kurtoza e tepërt

Kurtoza e tepërt përcaktohet si kurtoza minus 3. Ekzistojnë 3 regjime të dallueshme siç përshkruhen më poshtë.

Mesokurtizmi

Shpërndarjet me kurtozë të tepërt zero quhen mezokurtike, ose mezokurtotike. Shembulli më i spikatur i një shpërndarjeje mezokurtike është familja e shpërndarjes normale, pavarësisht nga vlerat e parametrave të saj. Disa shpërndarje të tjera të njohura mund të jenë mezokurtike, në varësi të vlerave të parametrave: për shembull, shpërndarja binomiale është mezokurtike për $p=1/2\pm \sqrt{1/12}$ .

Leptokurtizmi

Një shpërndarje me kurtozë të tepërt pozitive quhet leptokurtike, ose leptokurtotike. "Lepto-" do të thotë "i hollë". Për sa i përket formës, një shpërndarje leptokurtike ka bishta më të trashë . Shembuj të shpërndarjeve leptokurtike përfshijnë shpërndarjen e Studentit t, shpërndarjen Rayleigh, shpërndarjen Laplace, shpërndarjen eksponenciale, shpërndarjen Poisson dhe shpërndarjen logjistike . Shpërndarje të tilla nganjëherë quhen super-Gausiane . [12]

Platikurtizmi

Hedhja e monedhës është shpërndarja më platikurtike

Një shpërndarje me kurtozë të tepërt negative quhet platikurtike, ose platikurtotike. "Platy-" do të thotë "i gjerë". Për sa i përket formës, një shpërndarje platikurtike ka bishta më të hollë . Shembuj të shpërndarjeve platikurtike përfshijnë shpërndarjet uniforme të vazhdueshme dhe diskrete dhe shpërndarjen e kosinusit të ngritur . Shpërndarja më platikurtike nga të gjitha është shpërndarja e Bernult me p = 1/2 (për shembull, sa herë që merret varianti "kokë" kur hidhet një monedhë një herë, një hedhje monedhe ), për të cilën kurtoza e tepërt është -2.