Shpërndarja Cauchy

Shpërndarja Cauchy, e quajtur sipas Augustin Cauchy, është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti . Është i njohur gjithashtu, veçanërisht në mesin e fizikantëve, si shpërndarja e Lorencit (pas Hendrik Lorentz ), shpërndarja Cauchy-Lorentz, funksioni Lorenc(ian) ose shpërndarja Breit-Wigner . Shpërndarja Cauchy $f(x;x_0,\gamma )$ është shpërndarja e pikëprerjes së abshisave të një rrezeje që del nga $(x_0,\gamma )$ me një kënd si n.r të shpërndarë uniformisht. Është gjithashtu shpërndarja e raportit të dy ndryshoreve të rastit të pavarura të shpërndara normalisht me mesatare zero.

Shpërndarja Cauchy përdoret shpesh në statistika si shembulli kanonik i një shpërndarjeje " patologjike " pasi si pritja matematike ashtu edhe varianca e saj janë të papërcaktuara. Shpërndarja Cauchy nuk ka momente të fundme të rendit më të madh ose të barabartë me një; ekzistojnë vetëm momente absolute të pjesshme. Shpërndarja Cauchy nuk ka funksion gjenerues të momentit .

Në matematikë, ajo është e lidhur ngushtë me bërthamën Poisson, e cila është zgjidhja themelore për ekuacionin Laplace në gjysmë-rrafshin e sipërm .

Është një nga shpërndarjet e pakta që është e qëndrueshme dhe ka një funksion të dendësisë të probabilitetit që mund të shprehet në mënyrë analitike, të tjerat janë shpërndarja normale dhe shpërndarja Lévy .

Historia

Vlerësimi i mesatares dhe devijimit standard përmes zgjedhjeve nga një shpërndarje Cauchy (poshtë) nuk konvergjon me më shumë mostra, si në shpërndarjen normale (lart). Mund të ketë kërcime të mëdha në mënyrë arbitrare tek vlerësimet, siç shihet në grafikët në fund.

Një funksion me formën e funksionit të dendësisë së shpërndarjes Cauchy u studiua gjeometrikisht nga Fermati në 1659, dhe më vonë u njoh si shtriga e Agnesit, pasi Agnesi e përfshiu atë si shembull në librin e saj të llogaritjes së vitit 1748. Pavarësisht nga emri i saj, analiza e parë e shkoqur e vetive të shpërndarjes Cauchy u botua nga matematikani francez Poisson në 1824, me Cauchy që u lidh me të vetëm gjatë një polemike akademike në 1853. Poisson vuri në dukje se nëse merrej mesatarja e vëzhgimeve pas një shpërndarjeje të tillë, gabimi mesatar nuk konvergjonte në ndonjë numër të fundëm. Si i tillë, përdorimi nga Laplasi i teoremës qëndrore limite me një shpërndarje të tillë ishte i papërshtatshëm, pasi supozoi një mesatare dhe variancë të fundme.

Funksioni i dendësisë së probabilitetit (PDF)

Shpërndarja Cauchy është shpërndarja e probabilitetit me funksionin e mëposhtëm të dendësisë të probabilitetit (PDF)

$f(x;x_0,\gamma )=\frac{1}{\pi \gamma [1+{\left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)}^2]}=\frac{1}{\pi }\left[\frac{\gamma }{(x-x_0{)}^2+{\gamma }^2}\right],$

ku $x_0$ është parametri i vendndodhjes, duke specifikuar vendndodhjen e pikut të shpërndarjes, dhe $\gamma$ është parametri i shkallës që specifikon gjysmën e gjerësisë në gjysmën maksimale (HWHM), në mënyrë alternative $2\gamma$ është gjerësia e plotë në gjysmën e maksimumit (FWHM). Augustin-Louis Cauchy shfrytëzoi një funksion të tillë dendësie në vitin 1827 me një parametër të shkallës pambarimisht të vogël, duke përcaktuar atë që tani quhet funksion i deltës së Dirakut .

Karakteristikat e PDF-së

Vlera ose amplituda maksimale e FDP të shpërndarjes Koshi është $\frac{1}{\pi \gamma }$, i vendosur në $x=x_0$ .

Ndonjëherë është i përshtatshëm për të shprehur PDF në terma të parametrit kompleks $\psi =x_0+i\gamma$

$f(x;\psi )=\frac{1}{\pi }\text{Im}\left(\frac{1}{x-\psi }\right)=\frac{1}{\pi }\text{Re}\left(\frac{-i}{x-\psi }\right)$

Rasti i veçantë kur $x_0=0$ dhe $\gamma =1$ quhet shpërndarja standarde Koshi me funksionin e dendësisë së probabilitetit

$f(x;0,1)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}.$

Në fizikë, shpesh përdoret një funksion Lorencian me tre parametra:

$f(x;x_0,\gamma ,I)=\frac{I}{[1+{\left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)}^2]}=I\left[\frac{{\gamma }^2}{(x-x_0{)}^2+{\gamma }^2}\right],$

ku $I$ është lartësia e majës. Funksioni Lorencian me tre parametra i treguar nuk është, në përgjithësi, një funksion i dendësisë së probabilitetit, pasi ai nuk integrohet në 1, përveç në rastin e veçantë ku $I=\frac{1}{\pi \gamma }.$

Funksioni mbledhës i shpërndarjes (CDF)

Shpërndarja Koshi është shpërndarja e probabilitetit me funksionin e mëposhtëm të shpërndarjes mbledhëse (FSHM):

$F(x;x_0,\gamma )=\frac{1}{\pi }\arctan \left(\frac{x-x_0}{\gamma }\right)+\frac{1}{2}$

dhe funksioni kuantile ( fshm e anasjelltë ) i shpërndarjes Cauchy është

$Q(p;x_0,\gamma )=x_0+\gamma \tan \left[\pi (p-\frac{1}{2})\right].$

Për shpërndarjen standarde, funksioni i shpërndarjes mbledhëse thjeshtohet në funksionin arktangent $\arctan (x)$ :

$F(x;0,1)=\frac{1}{\pi }\arctan \left(x\right)+\frac{1}{2}$

Vetitë

Shpërndarja Koshi është një shembull i një shpërndarjeje që nuk ka mesatare, variancë ose momente më të larta të përcaktuara. Moda dhe mediana e tij janë të përcaktuara mirë dhe janë të dyja të barabarta me $x_0$ .

Shpërndarja Cauchy është një shpërndarje probabiliteti pafundësisht e pjestueshme . Është gjithashtu një shpërndarje rreptësisht e qëndrueshme .

Shuma e shpërndarjeve Cauchy

Nëse $X_1,X_2,...,X_n$ janë n.r IID të marra nga shpërndarja standarde Cauchy, atëherë mesatarja e mostrës $\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _i{X}_i$ ndjek gjithashtu një shpërndarje Koshi. Në veçanti, mesatarja nuk konvergjon tek mesatarja, dhe kështu shpërndarja standarde e Koshiut nuk ndjek ligjin e numrave të mëdhenj.

Teorema qëndrore limite

Nëse $X_1,X_2,...$ janë n.r IID me PDF $\rho$ sikurse $\underset{c\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{c}\underset{-c}{\overset{c}{\int }}{x}^2\rho (x)dx=\frac{2\gamma }{\pi }$ është e fundme, por jo zero, atëherë $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$ konvergjon në shpërndarje në një shpërndarje Koshi me shkallë $\gamma$ .

Funksioni karakteristik

Le $X$ tregojnë një ndryshore të rastit të shpërndarë sipas Koshiut. Funksioni karakteristik i shpërndarjes Koshi jepet nga

${\phi }_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{iXt}\right]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x;x_0,\gamma )e^{ixt}dx=e^{i{x}_{0}t-\gamma |t|}.$

Entropia

Entropia e shpërndarjes Koshi jepet nga:

$\begin{array}{cc}H(\gamma )& =-\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x;x_0,\gamma )\log (f(x;x_0,\gamma ))dx\\ & =\log (4\pi \gamma )\end{array}$

Derivati i funksionit kuantile, funksioni i dendësisë së kuantilit, për shpërndarjen Koshi është:

$Q^{\prime }(p;\gamma )=\gamma \pi {\sec }^2\left[\pi (p-\frac{1}{2})\right].$

Vlerësimi i parametrave

Për shkak se parametrat e shpërndarjes Cauchy nuk korrespondojnë me një mesatare dhe variancë, përpjekja për të vlerësuar parametrat e shpërndarjes Cauchy duke përdorur një mesatare të mostrës dhe një variancë të mostrës nuk do të ketë sukses. Për shembull, nëse një kampion iid me madhësi n merret nga një shpërndarje Cauchy, mund të llogaritet mesatarja e kampionit si:

$\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$

Megjithëse vlerat e mostrës $x_i$ do të përqëndrohen në vlerën qendrore $x_0$, mesatarja e kampionit do të bëhet gjithnjë e më e ndryshueshme ndërsa bëhen më shumë vëzhgime, për shkak të rritjes së probabilitetit për të hasur në pika të mostrës me një vlerë të madhe absolute. Në fakt, shpërndarja e mesatares së mostrës do të jetë e barabartë me shpërndarjen e vetë vëzhgimeve; dmth, mesatarja e mostrës së një kampioni të madh nuk është një vlerësues më i mirë (ose më i keq). $x_0$ se çdo vëzhgim i vetëm nga kampioni. Në mënyrë të ngjashme, llogaritja e variancës së mostrës do të rezultojë në vlera që rriten kur merren më shumë vëzhgime.

Prandaj, mjete më të forta për të vlerësuar vlerën qendrore $x_0$ dhe parametrin e shkallëzimit $\gamma$ janë të nevojshme. Një metodë e thjeshtë është të merret vlera mesatare e kampionit si një vlerësues i $x_0$ dhe gjysma e shtrirjes ndërkuartile të kampionit si një vlerësues i $\gamma$ . Janë zhvilluar metoda të tjera, më të sakta dhe të forta Për shembull, mesatarja e cunguar e 24% të mesit të statistikave të rendit të mostrës prodhon një vlerësim për $x_0$ që është më efikase sesa përdorimi i mesores së mostrës ose mesatares së plotë të mostrës. Megjithatë, për shkak të bishtit të trashë të shpërndarjes Cauchy, efikasiteti i vlerësuesit zvogëlohet nëse përdoret më shumë se 24% e kampionit.

Përgjasia maksimale mund të përdoret gjithashtu për të vlerësuar parametrat $x_0$ dhe $\gamma$ . Megjithatë, kjo priret të ndërlikohet nga fakti se kjo kërkon gjetjen e rrënjëve të një polinomi të shkallës së lartë dhe mund të ketë rrënjë të shumta që përfaqësojnë maksimumin vendor. Gjithashtu, ndërsa vlerësuesi maksimal i gjasave është asimptotikisht efikas, ai është relativisht joefikas për mostrat e vogla. Funksioni i gjasave log për shpërndarjen Cauchy për madhësinë e kampionit $n$ është:

$\hat{\ell }(x_1,\dots ,x_n\mid x_0,\gamma )=-n\log (\gamma \pi )-\sum _{i=1}^n\log (1+{\left(\frac{x_i-x_0}{\gamma }\right)}^2)$

Maksimizimi i funksionit logaritmues të përgjasisë maksimale në lidhje me $x_0$ dhe $\gamma$ duke marrë derivatin e parë prodhon sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve:

$\frac{d\ell }{d{x}_0}=\sum _{i=1}^n\frac{2(x_i-x_0)}{{\gamma }^2+{(x_i-x_0)}^2}=0$

$\frac{d\ell }{d\gamma }=\sum _{i=1}^n\frac{2{(x_i-x_0)}^2}{\gamma ({\gamma }^2+{(x_i-x_0)}^2)}-\frac{n}{\gamma }=0$

Vini re se

$\sum _{i=1}^n\frac{{(x_i-x_0)}^2}{{\gamma }^2+{(x_i-x_0)}^2}$

është një funksion monoton në $\gamma$ dhe se zgjidhja $\gamma$ duhet të kënaqë

$\min |x_i-x_0|\le \gamma \le \max |x_i-x_0|.$

Zgjidhja vetëm për $x_0$ kërkon zgjidhjen e një polinomi të shkallës $2n-1$, dhe zgjidhja vetëm për $\gamma$ kërkon zgjidhjen e një polinomi të shkallës $2n$ . Prandaj, nëse zgjidhet për një parametër ose për të dy parametrat njëkohësisht, zakonisht kërkohet një zgjidhje numerike. Përfitimi i vlerësuesit të përgjasisë maksimale është efikasiteti asimptotik; duke vlerësuar $x_0$ përdorimi i mesatares së kampionit është vetëm rreth 81% po aq asimptotikisht efikas sa vlerësimi $x_0$ sipas gjasave maksimale. Mesatarja e mostrës së cunguar duke përdorur statistikat e rendit të mesëm prej 24% është rreth 88% si një vlerësues asimptotikisht efikas i $x_0$ si vlerësimi maksimal i gjasave. Kur metoda e Njutonit përdoret për të gjetur zgjidhjen për vlerësimin maksimal të gjasave, statistikat e rendit të mesëm prej 24% mund të përdoren si zgjidhje fillestare për $x_0$ .

Vetitë e transformimit

• Nëse $X\sim \mathrm{Cauchy}(x_0,\gamma )$ atëherë $kX+\ell \sim \text{Cauchy}(x_{0}k+\ell ,\gamma |k|)$
• Nëse $X\sim \mathrm{Cauchy}(x_0,{\gamma }_0)$ dhe $Y\sim \mathrm{Cauchy}(x_1,{\gamma }_1)$ janë të pavarur atëherë $X+Y\sim \mathrm{Cauchy}(x_0+x_1,{\gamma }_0+{\gamma }_1)$ dhe $X-Y\sim \mathrm{Cauchy}(x_0-x_1,{\gamma }_0+{\gamma }_1)$
• Nëse $X\sim \mathrm{Cauchy}(0,\gamma )$ pastaj $\frac{1}{X}\sim \mathrm{Cauchy}(0,\frac{1}{\gamma })$
• Parametrimi i McCullagh-së i shpërndarjeve Cauchy : Shprehja e një shpërndarjeje Cauchy në termat e një parametri kompleks $\psi =x_0+i\gamma$, përcaktoni $X\sim \mathrm{Cauchy}(\psi )$ të thotë $X\sim \mathrm{Cauchy}(x_0,|\gamma |)$ . Nëse $X\sim \mathrm{Cauchy}(\psi )$ pastaj:$$\frac{aX+b}{cX+d}\sim \mathrm{Cauchy}\left(\frac{a\psi +b}{c\psi +d}\right)$$$\frac{aX+b}{cX+d}\sim \mathrm{Cauchy}\left(\frac{a\psi +b}{c\psi +d}\right)$
• Duke përdorur të njëjtën konventë si më sipër, nëse $X\sim \mathrm{Cauchy}(\psi )$ atëherë:
• $\frac{X-i}{X+i}\sim \mathrm{CCauchy}\left(\frac{\psi -i}{\psi +i}\right)$$$\frac{X-i}{X+i}\sim \mathrm{CCauchy}\left(\frac{\psi -i}{\psi +i}\right)$$

Shpërndarjet e ndërlidhura

• $\mathrm{Cauchy}(0,1)\sim \text{t}(\mathrm{d}\mathrm{f}=1)$ Shpërndarja e studentit
• $\mathrm{Cauchy}(\mu ,\sigma )\sim {\text{t}}_{(\mathrm{d}\mathrm{f}=1)}(\mu ,\sigma )$ Shpërndarja <i id="mwAl4">t</i> jo e standardizuar e Studentit
• Nëse $X,Y\sim \text{N}(0,1)X,Y$ e pavarur, atëherë $\frac{X}{Y}\sim \text{Cauchy}(0,1)$
• Nëse $X\sim \text{U}(0,1)$ atëherë $\tan \left(\pi (X-\frac{1}{2})\right)\sim \text{Cauchy}(0,1)$
• Nëse $X\sim \mathrm{Log-Cauchy}(0,1)$ atëherë $\ln (X)\sim \text{Cauchy}(0,1)$
• Nëse $X\sim \mathrm{Cauchy}(x_0,\gamma )$ atëherë $\frac{1}{X}\sim \mathrm{Cauchy}(\frac{x_0}{x_0^2+{\gamma }^2},\frac{\gamma }{x_0^2+{\gamma }^2})$
• Shpërndarja Cauchy është një rast kufizues i një shpërndarjeje Pearson të tipit 4 
• Shpërndarja Cauchy është një rast i veçantë i një shpërndarjeje Pearson të tipit 7.
• Shpërndarja Cauchy është një shpërndarje e qëndrueshme : nëse $X\sim \text{Stable}(1,0,\gamma ,\mu )$, atëherë $X\sim \mathrm{Cauchy}(\mu ,\gamma )$ .
• Shpërndarja Cauchy është një kufi singular i një shpërndarjeje hiperbolike
• Shpërndarja e mbështjellë Cauchy, duke marrë vlera në një rreth, rrjedh nga shpërndarja Cauchy duke e mbështjellë rreth rrethit.
• Nëse $X\sim \text{N}(0,1)$, $Z\sim \mathrm{Inverse-Gamma}(1/2,s^2/2)$, pastaj $Y=\mu +X\sqrt{Z}\sim \mathrm{Cauchy}(\mu ,s)$ . Për shpërndarjet gjysmë Cauchy, lidhja qëndron duke vendosur $X\sim \text{N}(0,1)I\{X>=0\}$ .

Ndodhia dhe zbatimet

• Në spektroskopi, shpërndarja Koshi përshkruan formën e linjave spektrale të cilat i nënshtrohen zgjerimit homogjen në të cilin të gjitha atomet ndërveprojnë në të njëjtën mënyrë me shtrirjen e frekuencës që gjendet në formën e vijës. Shumë mekanizma shkaktojnë zgjerim homogjen, veçanërisht zgjerimin e përplasjes . Zgjerimi natyror ose jetësor gjithashtu krijon një formë vije të përshkruar nga shpërndarja Cauchy.
• Aplikimet e shpërndarjes Koshi ose të transformimit të saj mund të gjenden në fusha që punojnë me rritje eksponenciale. Një letër e vitit 1958 nga White nxori statistikën e testit për vlerësuesit e $\hat{\beta }$ për ekuacionin $x_{t+1}=\beta x_t+{\epsilon }_{t+1},\beta >1$ dhe ku vlerësuesi i përgjasisë maksimale gjendet duke përdorur katrorët më të vegjël të zakonshëm, tregoi se shpërndarja e mostrës së statistikës është shpërndarja Koshi.

Shpërndarja Koshi mbledhëse dhe e përshtatur në reshjet maksimale njëditore duke përdorur CumFreq, shih gjithashtu përshtatjen e shpërndarjes

• Shpërndarja Koshi është shpesh shpërndarja e vëzhgimeve për objektet që rrotullohen. Referenca klasike për këtë quhet problemi i farit të Pulëbardhës dhe si në pjesën e mësipërme si shpërndarja Breit-Wigner në fizikën e grimcave.
• Në hidrologji shpërndarja Koshi zbatohet për ngjarje ekstreme si reshjet vjetore maksimale njëditore dhe shkarkimet e lumenjve. Fotografia blu ilustron një shembull të përshtatjes së shpërndarjes Cauchy me reshjet maksimale mujore njëditore të renditura duke treguar gjithashtu rripin e besimit 90% bazuar në shpërndarjen binomiale . Të dhënat e reshjeve përfaqësohen nga pozicionet e hedhura në grafik si pjesë e analizës së frekuencës mbledhëse .
• Shprehja për pjesën imagjinare të lejueshmërisë elektrike komplekse sipas modelit Lorentz është një model VAR ( vlera në rrezik ) që prodhon një probabilitet shumë më të madh të rrezikut të skajshëm sesa Shpërndarja gausiane .