Shpërndarja hi

Në teorinë e probabiliteti dhe statistikë, shpërndarja hi është një shpërndarje e vazhdueshme probabiliteti . Është shpërndarja e rrënjës katrore të shumës së katrorëve të një bashkësie ndryshoresh rasti të pavarura secila me një shpërndarje normale standarde, ose në mënyrë të njëvlerëshme, shpërndarja e largësisë Euklidiane të ndryshoreve të rastit nga origjina. Kështu, ajo lidhet me shpërndarjen hi-katror duke përshkruar shpërndarjen e rrënjëve katrore pozitive të një ndryshoreje që i bindet një shpërndarjeje hi-katrore.

Nëse $Z_1,\dots ,Z_k$ janë $k$ ndryshore rasti të pavarura, me shpërndarje normale me mesatare 0 dhe devijim standard 1, pastaj statistika

$Y=\sqrt{\sum _{i=1}^k{Z}_i^2}$

shpërndahet sipas shpërndarjes hi. Shpërndarja hi ka një parametër, $k$, i cili specifikon numrin e shkallëve të lirisë (dmth. numrin e ndryshoreve të rastit $Z_i$ ).

Shembujt më të njohur janë shpërndarja Rayleigh (shpërndarja hi me dy shkallë lirie ) dhe shpërndarja Maxwell–Boltzmann e shpejtësive molekulare në një gaz ideal (shpërndarja hi me tre shkallë lirie).

Përkufizimet

Funksioni i dendësisë së probabilitetit

Funksioni i dendësisë së probabilitetit (pdf) i shpërndarjes hi është

$f(x;k)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^{k-1}{e}^{-x^2/2}}{2^{k/2-1}\mathrm{\Gamma }\left(\frac{k}{2}\right)},& x\ge 0;\\ 0,& \text{përndryshe}.\end{array}$

ku $\mathrm{\Gamma }(z)$ është funksioni gama .

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Funksioni mbledhës i shpërndarjes jepet nga:

$F(x;k)=P(k/2,x^2/2)$

ku $P(k,x)$ është funksioni gama i rregulluar .

Vetitë

Momente

Momentet e papërpunuara më pas jepen nga:

${\mu }_j=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x;k)x^j\mathrm{d}x=2^{j/2}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(k+j))}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}k\right)}$

ku $\mathrm{\Gamma }(z)$ është funksioni gama . Kështu, momentet e para të papërpunuara janë:

${\mu }_1=\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(k+1))}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}k\right)}$

${\mu }_2=k,$

${\mu }_3=2\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(k+3))}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}k\right)}=(k+1){\mu }_1,$

${\mu }_4=(k)(k+2),$

${\mu }_5=4\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(k+5))}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}k\right)}=(k+1)(k+3){\mu }_1,$

${\mu }_6=(k)(k+2)(k+4),$

Nga këto shprehje mund të nxjerrim marrëdhëniet e mëposhtme:

Mesatarja: $\mu =\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(k+1))}{\mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}k\right)},$ që llogaritet edhe si $\sqrt{k-\frac{1}{2}}$ për k të mëdha.

Varianca: $V=k-{\mu }^2,$ e cila i afrohet $\frac{1}{2}$ me rritjen e k .

Shtrirja: ${\gamma }_1=\frac{\mu }{{\sigma }^3}(1-2{\sigma }^2).$

Kurtoza e tepërt: ${\gamma }_2=\frac{2}{{\sigma }^2}(1-\mu \sigma {\gamma }_1-{\sigma }^2).$

Entropia

Entropia jepet nga:

$S=\ln (\mathrm{\Gamma }(k/2))+\frac{1}{2}(k-\ln (2)-(k-1){\psi }^0(k/2))$

ku ${\psi }^0(z)$ është funksioni poligama .

Përafrim i madh n

Gjejmë përafrimin e madh $n=k+1$ të mesatares dhe variancës së shpërndarjes hi. Kjo ka zbatim p.sh. në gjetjen e shpërndarjes së devijimit standard të një kampioni të popullatës së shpërndarë normalisht, ku $n$ është madhësia e kampionit.

Mesatarja është:

$\mu =\sqrt{2}\frac{\mathrm{\Gamma }(n/2)}{\mathrm{\Gamma }((n-1)/2)}$

Ne përdorim formulën e dyfishimit të Lezhandrit për të shkruar:

$2^{n-2}\mathrm{\Gamma }((n-1)/2)\cdot \mathrm{\Gamma }(n/2)=\sqrt{\pi }\mathrm{\Gamma }(n-1)$ ,

në mënyrë që:

$\mu =\sqrt{2/\pi }{2}^{n-2}\frac{(\mathrm{\Gamma }(n/2){)}^2}{\mathrm{\Gamma }(n-1)}$

Duke përdorur përafrimin e Stirlingut për funksionin gamma, marrim shprehjen e mëposhtme për mesataren:

$\mu =\sqrt{2/\pi }{2}^{n-2}\frac{{(\sqrt{2\pi }(n/2-1{)}^{n/2-1+1/2}{e}^{-(n/2-1)}\cdot [1+\frac{1}{12(n/2-1)}+O(\frac{1}{n^2})])}^2}{\sqrt{2\pi }(n-2{)}^{n-2+1/2}{e}^{-(n-2)}\cdot [1+\frac{1}{12(n-2)}+O(\frac{1}{n^2})]}$

$=(n-2{)}^{1/2}\cdot [1+\frac{1}{4n}+O(\frac{1}{n^2})]=\sqrt{n-1}(1-\frac{1}{n-1}{)}^{1/2}\cdot [1+\frac{1}{4n}+O(\frac{1}{n^2})]$

$=\sqrt{n-1}\cdot [1-\frac{1}{2n}+O(\frac{1}{n^2})]\cdot [1+\frac{1}{4n}+O(\frac{1}{n^2})]$

$=\sqrt{n-1}\cdot [1-\frac{1}{4n}+O(\frac{1}{n^2})]$

E kështu varianca është:

$V=(n-1)-{\mu }^2=(n-1)\cdot \frac{1}{2n}\cdot [1+O(\frac{1}{n})]$

Shpërndarjet e ndërlidhura

• Nëse $X\sim {\chi }_k$ atëherë $X^2\sim {\chi }_k^2$ ( shpërndarja hi-katrore )
• $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\chi }_k-{\mu }_k}{{\sigma }_k}\stackrel{d}{\to }N(0,1)$ ( Shpërndarja normale )
• Nëse $X\sim N(0,1)$ atëherë $|X|\sim {\chi }_1$
• Nëse $X\sim {\chi }_1$ atëherë $\sigma X\sim HN(\sigma )$ ( shpërndarje gjysmë normale ) për çdo $\sigma >0$
• ${\chi }_2\sim \mathrm{R}\mathrm{a}\mathrm{y}\mathrm{l}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}(1)$ ( Shpërndarja Rayleigh )
• ${\chi }_3\sim \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{x}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{l}(1)$ ( Shpërndarja Maxwell )
• $\Vert {𝑵}_{i=1,\dots ,k}(0,1){\Vert }_2\sim {\chi }_k$, norma Euklidiane e një vektori standard normal të rastit të me $k$ dimensione, shpërndahet sipas një shpërndarjeje hi me $k$ shkallët e lirisë
• Shpërndarja chi është një rast i veçantë i shpërndarjes së përgjithësuar të gamës ose shpërndarjes Nakagami ose shpërndarjes joqendrore hi
• Mesatarja e shpërndarjes hi (shkallëzuar me rrënjën katrore të $n-1$ ) jep faktorin korrigjues në vlerësimin e paanshëm të devijimit standard të shpërndarjes normale .

Shpërndarje të ndryshme hi dhe hi-katrore

Emri	Statistikat
shpërndarja hi-katrore	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
shpërndarja joqendrore hi-katrore	$\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2$
shpërndarja hi	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i-{\mu }_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$
shpërndarja joqendrore hi	$\sqrt{\sum _{i=1}^k{\left(\frac{X_i}{{\sigma }_i}\right)}^2}$

Shiko gjithashtu

• Shpërndarja Nakagami