Shpërndarja hipergjeometrike negative

Stampa:Infobox shpërndarja e gjasës

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja hipergjeometrike negative përshkruan probabilitetet për marrjen e mostrave nga një popullsi e fundme pa zëvendësim, në të cilën çdo popullim mund të klasifikohet në dy kategori ndërsjellazi përjashtuese si Sukses/Dështim ose i Punësuar/I papunësuar. Ndërsa zgjedhjet e rastësishme bëhen nga popullsia, çdo tërheqje e mëpasshme zvogëlon popullsinë duke bërë që probabiliteti i suksesit të ndryshojë me çdo tërheqje. Ndryshe nga shpërndarja standarde hipergjeometrike, e cila përshkruan numrin e sukseseve në një madhësi fikse kampioni, në shpërndarjen hipergjeometrike negative, popullimet nxirren deri sa janë gjetur $r$ dështime dhe shpërndarja përshkruan probabilitetin e gjetjes $k$ sukseseve në një popullim të tillë. Me fjalë të tjera, shpërndarja negative hipergjeometrike përshkruan gjasat e $k$ sukseseve në një popullim me saktësisht $r$ dështime.

Përkufizimi

Ka $N$ elemente, nga të cilat $K$ përkufizohen si "suksese" dhe pjesa tjetër janë "dështime".

Elementet vizatohen njëri pas tjetrit, pa zëvendësime, derisa hasen $r$ dështime. Pastaj, zgjedhja ndalon dhe numri i $k$ sukseseve numërohet. Shpërndarja negative hipergjeometrike, $N H G_{N, K, r} (k)$ është shpërndarja diskrete e kësaj $k$ .

Shpërndarja hipergjeometrike negative është një rast i veçantë i shpërndarjes beta-binomiale ^[1] me parametra $α = r$ dhe $β = N - K - r + 1$ të dy duke qenë numra të plotë (dhe $n = K$ ).

Rezultati kërkon që ne të vëzhgojmë $k$ suksese në $(k + r - 1)$ tërheqje dhe copëzat $(k + r) -th$ duhet të jenë dështime. Probabiliteti i të parës mund të gjendet me zbatimin e drejtpërdrejtë të shpërndarjes hipergjeometrike $(H G_{N, K, k + r - 1} (k))$ dhe probabiliteti i kësaj të fundit është thjesht numri i dështimeve të mbetura $(= N - K - (r - 1))$ pjesëtuar me madhësinë e popullsisë së mbetur $(= N - (k + r - 1)$ . Probabiliteti për të pasur saktësisht $k$ suksese deri në dështimin $r -të$ (dmth. tërheqja ndalon sapo popullimi të përfshijë numrin e paracaktuar të $r$ dështimeve) atëherë është prodhimi i këtyre dy probabiliteteve:

$\frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{k + r - 1 - k})}{(\binom{N}{k + r - 1})} \cdot \frac{N - K - (r - 1)}{N - (k + r - 1)} = \frac{(\binom{k + r - 1}{k}) (\binom{N - r - k}{K - k})}{(\binom{N}{K})} .$

Prandaj, një ndryshore e rastit $X$ ndjek shpërndarjen hipergjeometrike negative nëse funksioni i masës së probabilitetit të tij (fmp) jepet nga

$f (k; N, K, r) \equiv \Pr (X = k) = \frac{(\binom{k + r - 1}{k}) (\binom{N - r - k}{K - k})}{(\binom{N}{K})} për k = 0, 1, 2, \dots, K$

ku

$N$ është madhësia e popullsisë,
$K$ është numri i gjëndjeve të suksesshme në popullatë,
$r$ është numri i dështimeve,
$k$ është numri i sukseseve të vërejtura,
$(\binom{a}{b})$ është një koeficient binomial

Sipas dizajnit, probabilitetet shumohen në 1. Megjithatë, në rast se duam ta tregojmë në mënyrë eksplicite kemi:

$\sum_{k = 0}^{K} \Pr (X = k) = \sum_{k = 0}^{K} \frac{(\binom{k + r - 1}{k}) (\binom{N - r - k}{K - k})}{(\binom{N}{K})} = \frac{1}{(\binom{N}{K})} \sum_{k = 0}^{K} (\binom{k + r - 1}{k}) (\binom{N - r - k}{K - k}) = \frac{1}{(\binom{N}{K})} (\binom{N}{K}) = 1,$

ku kemi përdorur faktin se,

$\begin{matrix} \sum_{j = 0}^{k} (\binom{j + m}{j}) (\binom{n - m - j}{k - j}) & = \sum_{j = 0}^{k} (- 1)^{j} (\binom{- m - 1}{j}) (- 1)^{k - j} (\binom{m + 1 + k - n - 2}{k - j}) \\ = (- 1)^{k} (\binom{k - n - 2}{k}) = (- 1)^{k} (\binom{k - (n + 1) - 1}{k}) = (\binom{n + 1}{k}), \end{matrix}$

i cili mund të nxirret duke përdorur identitetin binomial, $(\binom{n}{k}) = (- 1)^{k} (\binom{k - n - 1}{k})$ dhe identiteti Chu-Vandermonde, $\sum_{j = 0}^{k} (\binom{m}{j}) (\binom{n - m}{k - j}) = (\binom{n}{k})$ , i cili vlen për çdo vlerë komplekse $m$ dhe $n$ dhe çdo numër i plotë jo negativ $k$ .

Pritja matematike

Gjatë numërimit të numrit $k$ të sukseseve përpara $r$ dështimeve, numri i pritshëm i sukseseve është $\frac{r K}{N - K + 1}$ dhe mund të nxirret si më poshtë.

$\begin{matrix} E [X] & = \sum_{k = 0}^{K} k \Pr (X = k) = \sum_{k = 0}^{K} k \frac{(\binom{k + r - 1}{k}) (\binom{N - r - k}{K - k})}{(\binom{N}{K})} = \frac{r}{(\binom{N}{K})} [\sum_{k = 0}^{K} \frac{(k + r)}{r} (\binom{k + r - 1}{r - 1}) (\binom{N - r - k}{K - k})] - r \\ = \frac{r}{(\binom{N}{K})} [\sum_{k = 0}^{K} (\binom{k + r}{r}) (\binom{N - r - k}{K - k})] - r = \frac{r}{(\binom{N}{K})} [\sum_{k = 0}^{K} (\binom{k + r}{k}) (\binom{N - r - k}{K - k})] - r \\ = \frac{r}{(\binom{N}{K})} [(\binom{N + 1}{K})] - r = \frac{r K}{N - K + 1}, \end{matrix}$

ku kemi përdorur marrëdhënien $\sum_{j = 0}^{k} (\binom{j + m}{j}) (\binom{n - m - j}{k - j}) = (\binom{n + 1}{k})$ , që kemi nxjerrë më lart për të treguar se shpërndarja negative hipergjeometrike ishte normalizuar siç duhet.

Varianca

Varianca mund të nxirret nga llogaritja e mëposhtme.

$\begin{matrix} E [X^{2}] & = \sum_{k = 0}^{K} k^{2} \Pr (X = k) = [\sum_{k = 0}^{K} (k + r) (k + r + 1) \Pr (X = k)] - (2 r + 1) E [X] - r^{2} - r \\ = \frac{r (r + 1)}{(\binom{N}{K})} [\sum_{k = 0}^{K} (\binom{k + r + 1}{r + 1}) (\binom{N + 1 - (r + 1) - k}{K - k})] - (2 r + 1) E [X] - r^{2} - r \\ = \frac{r (r + 1)}{(\binom{N}{K})} [(\binom{N + 2}{K})] - (2 r + 1) E [X] - r^{2} - r = \frac{r K (N - r + K r + 1)}{(N - K + 1) (N - K + 2)} \end{matrix}$

Atëherë varianca është $Var [X] = E [X^{2}] - {(E [X])}^{2} = \frac{r K (N + 1) (N - K - r + 1)}{(N - K + 1)^{2} (N - K + 2)}$

Shpërndarjet e ndërlidhura

Nëse tërheqja ndalet pas një numri konstant $n$ tërheqjesh (pavarësisht nga numri i dështimeve), atëherë numri i sukseseve ndjek shpërndarjen hipergjeometrike, $H G_{N, K, n} (k)$ . Të dy funksionet janë të lidhura në mënyrën e mëposhtme: ^[2]

$N H G_{N, K, r} (k) = 1 - H G_{N, N - K, k + r} (r - 1)$

Shpërndarja negative-hipergjeometrike (si shpërndarja hipergjeometrike) merret me tërheqjet pa zëvendësim, kështu që probabiliteti i suksesit është i ndryshëm në çdo barazim. Në të kundërt, shpërndarja binomiale negative (si shpërndarja binomiale) merret me tërheqjet me zëvendësim, në mënyrë që probabiliteti i suksesit të jetë i njëjtë dhe provat të jenë të pavarura. Tabela e mëposhtme përmbledh katër shpërndarjet që lidhen me tërheqjen e sendeve:

	Me zëvendësime	Asnjë zëvendësim
# i sukseseve në # konstant të tërheqjeve	shpërndarja binomiale	shpërndarja hipergjeometrike
# i sukseseve në # konstant të dështimeve	shpërndarje binomiale negative	shpërndarje hipergjeometrike negative

Disa autorë ^[3] ^[4] përcaktojnë shpërndarjen negative hipergjeometrike si numrin e tërheqjeve të nevojshme për të marrë $r$ dështime. Le të jetë $Y$ shënimi këtë numër. Atëherë është e qartë se $Y = X + r$ ku $X$ është siç është përcaktuar më sipër. Prandaj FMP $P r (Y = y) = (\binom{y - 1}{r - 1}) \frac{(\binom{N - y}{N - K - r})}{(\binom{N}{N - K})}$ . Nëse e shënojmë numrin e dështimeve $N - K$ me $M$ do të thotë që kemi $P r (Y = y) = (\binom{y - 1}{r - 1}) \frac{(\binom{N - y}{M - r})}{(\binom{N}{M})}$ . Bashkësia e përcaktimit e $Y$ është bashkësia ${r, r + 1, \dots, N - M + r}$ . Është e qartë se $E [Y] = E [X] + r = \frac{r (N + 1)}{M + 1}$ dhe ajo $Var [X] = Var [Y]$ .

↑ Stampa:Cite book §6.2.2 (p.253–254)
↑ Negative hypergeometric distribution in Encyclopedia of Math.
↑ Rohatgi, Vijay K., and AK Md Ehsanes Saleh. An introduction to probability and statistics. John Wiley & Sons, 2015.
↑ Khan, RA (1994). A note on the generating function of a negative hypergeometric distribution. Sankhya: The Indian Journal of Statistics B, 56(3), 309-313.

[1] Stampa:Cite book §6.2.2 (p.253–254)

[eom-2] Negative hypergeometric distribution in Encyclopedia of Math.

[3] Rohatgi, Vijay K., and AK Md Ehsanes Saleh. An introduction to probability and statistics. John Wiley & Sons, 2015.

[4] Khan, RA (1994). A note on the generating function of a negative hypergeometric distribution. Sankhya: The Indian Journal of Statistics B, 56(3), 309-313.

[1]

[2]

[3]

[4]

Shpërndarja hipergjeometrike negative

Përmbajtjet

Përkufizimi

Pritja matematike

Varianca

Shpërndarjet e ndërlidhura

Menuja e navigimit

Shpërndarja hipergjeometrike negative

Përkufizimi

Pritja matematike

Varianca

Shpërndarjet e ndërlidhura

Menuja e navigimit

Kërko