Shpërndarja hipergjeometrike

Stampa:Infobox shpërndarja e gjasës

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja hipergjeometrike është një shpërndarje diskrete probabiliteti që përshkruan probabilitetin e $k$ sukseseve (tërheqjet e rastit për të cilat objekti i tërhequr ka një veçori të caktuar) në $n$ tërheqje pa zëvendësim, nga një popullsi e kufizuar me madhësi $N$ që përmban saktësisht $K$ objekte me atë veçori, ku çdo tërheqje është ose një sukses ose një dështim. Në të kundërt, shpërndarja binomiale përshkruan probabilitetin e $k$ sukseseve në $n$ tërheqje me zëvendësim.

Përkufizimet

Funksioni i masës së probabilitetit

Kushtet e mëposhtme karakterizojnë shpërndarjen hipergjeometrike:

Rezultati i çdo tërheqje (elementet e popullatës që janë marrë në popullim) mund të klasifikohet në një nga dy kategoritë ndërsjellazi përjashtuese (p.sh. Kalon/Dështon ose i Punësuar/I papunësuar).
Probabiliteti i një suksesi ndryshon në çdo tërheqje, pasi çdo tërheqje zvogëlon popullsinë ( kampionimi pa zëvendësim nga një popullsi e fundme).

Një ndryshore e rastit $X$ ndjek shpërndarjen hipergjeometrike nëse funksioni i masës së probabilitetit të tij (fmp) jepet nga ^[1]

p_{X} (k) = \Pr (X = k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})},

ku

$N$ është madhësia e popullsisë,
$K$ është numri i gjëndjeve të suksesshme në popullatë,
$n$ është numri i barazimeve (dmth. sasia e tërhequr në çdo provë),
$k$ është numri i sukseseve të vërejtura,
$(\binom{a}{b})$ është një koeficient binomial .

FMP është pozitiv kur $\max (0, n + K - N) \leq k \leq \min (K, n)$ .

Një ndryshore e rastit e shpërndarë hipergjeometrikisht me parametra $N$ , $K$ dhe $n$ shkruhet si $X \sim Hypergeometric (N, K, n)$ dhe ka funksion të masës së probabilitetit $p_{X} (k)$ si më sipër.

Vetitë

Shembull pune

Zbatimi klasik i shpërndarjes hipergjeometrike është kampionimi pa zëvendësim . Mendoni një vazo me dy ngjyra mermeri, të kuqe dhe të gjelbër. Përcaktoni tërheqjen e një mermeri të gjelbër si sukses (S) dhe tërheqjen e një mermeri të kuq si dështim (K) (analoge me shpërndarjen binomiale). Nëse ndryshorja $N$ përshkruan numrin e të gjithë mermerëve në vazo dhe $K$ përshkruan numrin e mermerëve të gjelbër, atëherë $N - K$ korrespondon me numrin e mermerëve të kuq . Në këtë shembull, $X$ është ndryshorja e rastit, rezultati i së cilës është $k$ , numri i mermerëve të gjelbër të nxjerrë në eksperiment. Kjo situatë ilustrohet nga tabela e mëposhtme e rasteve :

	tërhequr	ngelur në vazo	total
mermerët e gjelbër	k	K − k	K
mermerët e kuq	n − k	N + k − n − K	N - K
total	n	N − n	N

Tani, supozoni (për shembull) se ka 5 mermerë të gjelbër dhe 45 të kuq në urnë (vazo). Duke qëndruar pranë vazos, ju mbyllni sytë dhe tërhiqni 10 mermerë pa zëvendësim. Sa është probabiliteti që saktësisht 4 nga 10 janë të gjelbër? Vini re se megjithëse po vëzhgojmë sukses/dështim, të dhënat nuk modelohen saktë nga shpërndarja binomiale, sepse probabiliteti i suksesit në çdo provë nuk është i njëjtë, pasi madhësia e popullsisë së mbetur ndryshon ndërsa heqim çdo mermer.

Ky problem përmblidhet nga tabela e mëposhtme e kontigjencës:

	tërhequr	pa tërhequr	total
mermerët e gjelbër	k = 4	K − k = 1	K = 5
mermerët e kuq	n − k = 6	N + k − n − K = 39	N − K = 45
total	n = 10	N − n = 40	N = 50

Probabiliteti për të nxjerrë saktësisht $k$ mermerë të gjelbër mund të llogaritet me formulën

P (X = k) = f (k; N, K, n) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})} .

Prandaj, në këtë shembull llogaritni

P (X = 4) = f (4; 50, 5, 10) = \frac{(\binom{5}{4}) (\binom{45}{6})}{(\binom{50}{10})} = \frac{5 \cdot 8145060}{10272278170} = 0.003964583 \dots .

Intuitivisht ne do të prisnim që të ishte edhe më e pamundur që të 5 mermerët e gjelbër të jenë në mesin e 10 të tërhequrve.

P (X = 5) = f (5; 50, 5, 10) = \frac{(\binom{5}{5}) (\binom{45}{5})}{(\binom{50}{10})} = \frac{1 \cdot 1221759}{10272278170} = 0.0001189375 \dots,

Siç pritej, probabiliteti i tërheqjes së 5 mermerëve të gjelbër është afërsisht 35 herë më pak i mundshëm se ai i tërheqjes së 4 prej tyre.

Simetritë

Ndërrimi i roleve të mermerëve të gjelbër dhe të kuq:

f (k; N, K, n) = f (n - k; N, N - K, n)

Ndërrimi i roleve të mermerëve të tërhequr dhe jo të tërhequr:

f (k; N, K, n) = f (K - k; N, K, N - n)

Ndërrimi i roleve të mermerëve të gjelbër dhe të tërhequr:

f (k; N, K, n) = f (k; N, n, K)

Këto simetri gjenerojnë grupin dihedral $D_{4}$ .

Kufijtë e bishtit

Le të jetë $X \sim Hypergeometric (N, K, n)$ dhe $p = K / N$ . Pastaj për $0 < t < n K / N$ mund të nxjerrim kufijtë e mëposhtëm: ^[2]

\begin{matrix} \Pr [X \leq (p - t) n] & \leq e^{- n D (p - t ∥ p)} \leq e^{- 2 t^{2} n} \\ \Pr [X \geq (p + t) n] & \leq e^{- n D (p + t ∥ p)} \leq e^{- 2 t^{2} n} \end{matrix}

ku

D (a ∥ b) = a \log \frac{a}{b} + (1 - a) \log \frac{1 - a}{1 - b}

është divergjenca Kullback-Leibler dhe përdoret se $D (a ∥ b) \geq 2 (a - b)^{2}$ . ^[3]

Nëse $n$ është më e madhe se $N / 2$ , mund të jetë e dobishme të aplikoni simetri për të "përmbysur" kufijtë, të cilët japin sa vijon: ^[3] ^[4]

\begin{matrix} \Pr [X \leq (p - t) n] & \leq e^{- (N - n) D (p + \frac{t n}{N - n} | | p)} \leq e^{- 2 t^{2} n \frac{n}{N - n}} \\ \Pr [X \geq (p + t) n] & \leq e^{- (N - n) D (p - \frac{t n}{N - n} | | p)} \leq e^{- 2 t^{2} n \frac{n}{N - n}} \end{matrix}

Konkluzioni statistikor

Testi hipergjeometrik

Testi hipergjeometrik përdor shpërndarjen hipergjeometrike për të matur rëndësinë statistikore të tërheqjes së një popullimi të përbërë nga një numër specifik $k$ suksesesh (nga $n$ tërheqjet totale) nga një popullsi me madhësi $N$ që përmban $K$ sukseset. Në një test për mbipërfaqësimin e sukseseve në kampion, vlera p hipergjeometrike llogaritet si probabilitet i tërheqjes në mënyrë të rastësishme të $k$ ose më shumë sukseseve nga popullata në $n$ tërheqjet totale. Në një test për nënpërfaqësim, vlera p është probabiliteti i tërheqjes së rastësishme të $k$ ose më pak sukseseve.

Testi i bazuar në shpërndarjen hipergjeometrike (testi hipergjeometrik) është identik me versionin përkatës me një bisht të testit ekzakt të Fisherit . ^[5]

Testi përdoret shpesh për të identifikuar se cilat nën-popullata janë të mbi ose nën-përfaqësuara në një popullim. Ky test ka një gamë të gjerë zbatimesh. Për shembull, një grup marketingu mund të përdorë testin për të kuptuar bazën e tyre të klientëve duke testuar një grup klientësh të njohur për mbipërfaqësim të nëngrupeve të ndryshme demografike (p.sh., gra, njerëz nën 30 vjeç).

Shpërndarjet e lidhura

Le të jetë $X \sim Hypergeometric (N, K, n)$ dhe $p = K / N$ .

Nëse $n = 1$ atëherë $X$ ka një shpërndarje Bernoulli me parametër $p$ .
Le të ketë $Y$ një shpërndarje binomiale me parametra $n$ dhe $p$ ; kjo modelon numrin e sukseseve në problemin analog të kampionimit me zëvendësim. Nëse $N$ dhe $K$ janë të mëdha në krahasim me $n$ , dhe $p$ nuk është afër 0 ose 1, atëherë $X$ dhe $Y$ kanë shpërndarje të ngjashme, dmth. $P (X \leq k) \approx P (Y \leq k)$ .
Nëse $n$ është e madhe, $N$ dhe $K$ janë të mëdha në krahasim me $n$ , dhe $p$ nuk është afër 0 ose 1 atëherë

P (X \leq k) \approx Φ (\frac{k - n p}{\sqrt{n p (1 - p)}})

ku $Φ$ është funksioni standard i shpërndarjes normale

Tabela e mëposhtme përshkruan katër shpërndarje që lidhen me numrin e sukseseve në një sekuencë tërheqjesh:

	Me zëvendësim	Asnjë zëvendësim
Numri i caktuar i tërheqjeve	shpërndarja binomiale	shpërndarja hipergjeometrike
Duke pasur parasysh numrin e dështimeve	shpërndarje binomiale negative	shpërndarje hipergjeometrike negative