Sinjalet e vazhduara themelore

1.Sinjali shkallë njësi

Sinjali shkallë njësi $u(t)$, i njohur gjithashtu si funksioni i Hevisajdit , definohet si :

Figura 1. (a) Sinjali shkallë njësi ; (b) Sinjali shkallë njësi i zhvendosur

$u(t)=$$\{\begin{array}{c}1,t>0\\ 0,t<0\end{array}$

e dhënë si në figurën 1(a).Sinjali është diskontinual ne kohën t=0 dhe vlera e tij në kohen t=0 nuk është e definuar. Ngjashëm, edhe sinjali i zhvendosur në kohë $u(t-t_0)$ është i definuar si :
$u(t-t_0)$=$\{\begin{array}{c}1,t<t_0\\ 0,t>t_0\end{array}$
e dhënë si në figurën 1(b).

2.Sinjali impuls njësi

Figura 2.

Impulsi njësi ose delta impulsi $\delta (t)$, që shpesh quhet edhe impulsi i Dirakut luan një rol të rëndësishëm në analizen e sistemeve. Tradicionalisht, $\delta (t)$ shpesh përkufizohet si limiti i nje funksioni të zgjedhur në mënyrë të përshtatshme që ka një siperfaqe mbi një interval infinitizimal të kohës të treguar në figurën 2 dhe ka vetite e treguara mëposhtë:
$\delta (t)$ = $\{\begin{array}{c}0,t\ne 0\\ \mathrm{\infty },t=0\end{array}$

Figura 3. (a) Sinjali impuls njësi; (b) Sinjali impuls njësi i zhvendosur

$\underset{-ϵ}{\overset{ϵ}{\int }}\delta (t)dt=1$

Shembuj

Sinjali impuls njësi mund të përkufizohet vetëm përmes integralit: $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)\delta (t)dt=x(0)$
Disa veti dhe relacione të rëndësishme të $\delta (t)$ impulsit :

• $\delta (-t)=\delta (t)$

• $x(t)\delta (t)=x(0)\delta (t)$

• $t\delta (t)=0$

• $x(t)\delta (t-t_0)=x(t_0)\delta (t-t_0)$

• $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}x(t)\delta (t-t_0)dt=x(t_0)$

3.Sinjalet eksponenciale dhe sinusoidale

Figura 4. Eksponenciali real

Sinjali kompleks eksponencial, me zgjatje të pafundme nga të dy anët përkufizohet me :

$x(t)=A{e}^{at},-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }$

Ku konstantat $A$ dhe $a$, në rastin e përgjithshëm kanë vlera komplekse, $A,a\in \complement$. Nëse të dy parametrat $A$ dhe $a$ marrin vlera reale atëherë sinjali $x(t)$ quhet eksponenciali real. Kur parametri $a$ merr vlerë të pastër imagjinare, $a=j{w}_0$, nga sinjali eksponencial sajohet sinusoida komplekse.

$x(t)=A{e}^{j{w}_{0}t}$

Figura 5. Sinusoida komplekse

Përkundër eksponencialit real i cili qartazi është një sinjal aperiodik, sinusoida komplekse është sinjal periodik.

$A{e}^{j{w}_{0}t}=A{e}^{j{w}_0(t+T)}=A{e}^{j{w}_{0}t}{e}^{j{w}_{0}T}$
Ky barazim plotësohet për:

Figura 6. Eksponenciali kompleks

$e^{j{w}_{0}t}=1=e^{j2\pi k}k=1,2...\Rrightarrow T=\frac{2\pi }{w_0}k$. $.k=1,2...$

Për k=1 fitohet vlera më e vogël e $T$ përkatësisht perioda themelore e sinjalit sinusoidal:

$T=\frac{2\pi }{w_0}$

Po të merret se edhe parametri $A$ ka vlerë komplekse:

$A=|A|e^{jw\phi }$

Atëherë sinusoida komplekse zbërthehet në komponentët sinusoidalë, real dhe imagjinar,

$A{e}^{j{w}_{0}t}=|A|e^{j(w_{0}t+\phi )}=|A|cos(w_{0}t+\phi )+j|A|sin(w_{0}t+\phi )$
Sinjali real sinusoidal i përkufizuar me:

$x(t)=|A|cos(w_{0}t+\phi )$

e trashëgon periodicitetin e sinusoidës komplekse T.
Nëse parametrin $a$ ka vlerë komplekse:

$a={\sigma }_0+j{w}_0$
atëherë eksponenciali kompleks merr trajtën:
$x(t)=A{e}^{at}=A{e}^{({\sigma }_0+j{w}_0)t}=A{e}^{({\sigma }_0)t}{e}^{(j{w}_0)t}=A{e}^{({\sigma }_0)t}cos(w_{0}t)+jA{e}^{({\sigma }_0)t}sin(w_{0}t)$

4.Sinjalet sinusoidale

Figura 7. Sinjali sinusoidal i vazhdueshëm në kohë

Një sinjal sinusoidal i vazhdueshëm në kohë mund të shprehet si :

$x(t)=Acos(w_{0}t+\theta )...(1)$
ku $A$ është amplituda (reale), $w_0$ është frekuenca në radianë për sekond, dhe $\theta$ është këndi fazor në radianë. Një sinjal sinusoidal është treguar në figurën 7, dhe është periodik me perioden fundamentale :
$T_0=\frac{2\pi }{w_0}...(2)$
Vlera reciproke e periodës fundamentale $T_0$ është frekuenca fundamentale $f_0$:
$f_0=\frac{1}{T_0},herc(Hz)...(3)$
Nga ekuacionet (2) dhe (3) kemi :

$w_0=2\pi f_0$

e cila quhet frekuenca këndore fundamentale. Duke përdorur formulat e Eulerit, sinjali sinusoidal nga ekuacioni (1) mund të shprehet si

$Acos(w_{0}t+\theta )=ARe[e^{j(w_{0}t+\theta )}]$

ku "Re" do të thotë "pjesa reale". Gjithashtu e përdorim shprehjen "Im" që do të thotë "pjesa imagjinare". Kështu që:

$AIm[e^{j(w_{0}t+\theta )}]=Asin(w_{0}t+\theta )$

5.Funksioni "Sinc"

Sinc (lexo "sink") funksioni përfitohet si rezultat i integrimit të sinusoidës komplekse në domen të parametrit $w$, në kufijtë $[-\pi ,\pi ]$.
$\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{jwt}dw=\frac{1}{2\pi }\frac{1}{jt}(e^{j\pi t}-e^{-j\pi t})=\frac{sin(\pi t)}{\pi t}$

$x(t)=sinc(t)=\frac{sin(\pi t)}{\pi t},-\mathrm{\infty }<t<\mathrm{\infty }$

Shiko gjithashtu

Modulimi Amplitudor

Modulimi Këndor

Sistemet Lineare

Sinjalet

Filtrat (Përpunimi i Sinjaleve)

Referimit

• Stampa:Cite book
• Stampa:Cite book
• “Sinjalet dhe Sistemet” Ilir Limani – Ligjërata të Autorizuara

Lidhjet e jashtme

• [1]
• [2]