Shpërndarja hi katror

Stampa:Infobox shpërndarja e gjasës

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikë, shpërndarja hi-katrore (gjithashtu hi-katror ose $χ^{2}$ -shpërndarja ) me $k$ shkallë lirie është shpërndarja e një shume të katrorëve të $k$ ndryshoreve rasti të pavarura standarde normale. Shpërndarja hi katror është një rast i veçantë i shpërndarjes gama dhe është një nga shpërndarjet më të përdorura të probabilitetit në statistikat konkluzive, veçanërisht në testimin e hipotezave dhe në ndërtimin e intervaleve të besimit . ^[1] ^[2] ^[3] Kjo shpërndarje quhet nganjëherë shpërndarja qendrore hi-katrore, një rast i veçantë i shpërndarjes më të përgjithshme joqendrore hi-katrore .

Shpërndarja hi-katrore përdoret kryesisht në testimin e hipotezave dhe në një masë më të vogël për intervalet e besimit për variancën e popullatës kur shpërndarja themelore është normale. Ndryshe nga shpërndarjet më të njohura si shpërndarja normale dhe shpërndarja eksponenciale, shpërndarja hi-katrore nuk përdoret aq shpesh në modelimin e drejtpërdrejtë të dukurive natyrore. Ajo lind në testet e hipotezave të mëposhtme, ndër të tjera:

Përkufizimet

Nëse $Z_{1}, Z_{2}, . . ., Z_{k}$ janë ndryshore rasti normale standarde të pavarura, atëherë shuma e katrorëve të tyre,

Q = \sum_{i = 1}^{k} Z_{i}^{2},

shpërndahet sipas shpërndarjes hi-katrore me $k$ shkallë lirie. Kjo zakonisht shënohet si

Q \sim χ^{2} (k) ose Q \sim χ_{k}^{2} .

Shpërndarja hi-katrore ka një parametër: një numër i plotë pozitiv $k$ që specifikon numrin e shkallëve të lirisë (numrin e ndryshoreve të rastit që mblidhen).

Paraqitje

Shpërndarja hi-katrore përdoret kryesisht në testimin e hipotezave dhe në një masë më të vogël për intervalet e besimit për variancën e popullatës kur shpërndarja e saj është normale. Ndryshe nga shpërndarjet më të njohura si shpërndarja normale dhe shpërndarja eksponenciale, shpërndarja hi-katrore nuk përdoret aq shpesh në modelimin e drejtpërdrejtë të fenomeneve natyrore. Ajo lind në testet e hipotezave të mëposhtme, ndër të tjera:

Testi hi-katror i pavarësisë në tabelat e kontigjencës
Testi hi-katror i përshtatshmërisë së të dhënave të vëzhguara me shpërndarjet hipotetike
Testi i raportit të përgjasisë për modelet e folezuara
Testi log-rank në analizën e mbijetesës
Testi Cochran–Mantel–Haenszel për tabelat e shtresuara të kontigjencës
Testi Wald
Testi i rezultateve

Është gjithashtu një përbërës i përkufizimit të shpërndarjes t dhe shpërndarjes F të përdorur në testet t, analizën e variancës dhe analizën e regresionit.

Supozoni se $Z$ është një ndryshore e rastit e kampionuar nga shpërndarja normale standarde, ku mesatarja është $0$ dhe varianca është $1$ : $Z \sim N (0, 1)$ . Tani, merrni parasysh ndryshoren e rastit $Q = Z^{2}$ . Shpërndarja e ndryshores së rastit $Q$ është një shembull i një shpërndarjeje hi-katrore: $Q \sim χ_{1}^{2}$ . Nënshkrimi 1 tregon se kjo shpërndarje e veçantë hi-katrore është ndërtuar nga vetëm 1 shpërndarje normale standarde. Një shpërndarje hi-katrore e ndërtuar duke ngritur në katror një shpërndarje normale standarde të vetme thuhet se ka 1 shkallë lirie. Kështu, ndërsa madhësia e kampionit për një test hipoteze rritet, shpërndarja e statistikave të testit i afrohet një shpërndarjeje normale. Ashtu si vlerat ekstreme të shpërndarjes normale kanë probabilitet të ulët (dhe japin vlera të vogla p), vlerat ekstreme të shpërndarjes hi-katrore kanë probabilitet të ulët.

Një arsye shtesë që shpërndarja hi-katrore përdoret gjerësisht është se ajo shfaqet si shpërndarja e kampionit të madh të testeve të raportit të përgjithësuar të përgjasisë (LRT). ^[4] LRT-të kanë disa veti të dëshirueshme; në veçanti, LRT-të e thjeshta zakonisht ofrojnë fuqinë më të lartë për të refuzuar hipotezën zero ( lema Neyman–Pearson ) dhe kjo çon gjithashtu në vetitë optimale të LRT-ve të përgjithësuara. Megjithatë, përafrimet normale dhe hi-katrore janë të vlefshme vetëm në mënyrë asimptotike. Për këtë arsye, është e preferueshme të përdoret shpërndarja t në vend të përafrimit normal ose përafrimit hi-katror për një madhësi të vogël kampioni. Në mënyrë të ngjashme, në analizat e tabelave të kontigjencës, përafrimi sipas hi-katror do të jetë i dobët për një madhësi të vogël kampioni dhe preferohet të përdoret testi i saktë i Fisher-it . Ramsey tregon se testi i saktë binomial është gjithmonë më i fuqishëm se përafrimi normal. ^[5]

Lancaster tregon lidhjet midis shpërndarjeve binomiale, normale dhe hi-katrore, si më poshtë. ^[6] De Moivre dhe Laplace vërtetuan se një shpërndarje binomiale mund të përafrohet me një shpërndarje normale. Konkretisht ata treguan normalitetin asimptotik të ndryshores së rastit

χ = \frac{m - N p}{\sqrt{N p q}}

ku $m$ është numri i vëzhguar i sukseseve në $N$ prova, ku është probabiliteti i suksesit $p$ , dhe $q = 1 - p$ .

Ngritja në katror e të dyja anëve të ekuacionit jep

χ^{2} = \frac{(m - N p)^{2}}{N p q}

Duke përdorur $N = N p + N (1 - p)$ , $N = m + (N - m)$ , dhe $q = 1 - p$ , ky ekuacion mund të rishkruhet si

χ^{2} = \frac{(m - N p)^{2}}{N p} + \frac{(N - m - N q)^{2}}{N q}

Shprehja në të djathtë është e formës që Karl Pearson do ta përgjithësonte në formën

χ^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}}

$χ^{2}$ = Statistika e testit kumulativ të Pearson-it, e cila në mënyrë asimptotike i afrohet a $χ^{2}$ shpërndarja;

$O_{i}$ = numri i vëzhgimeve të llojit $i$ ;

$E_{i} = N p_{i}$ = frekuenca e pritur (teorike) e tipit $i$ , e pohuar nga hipoteza zero se thyesa e tipit $i$ në popullatë është $p_{i}$ ;

dhe $n$ = numri i qelizave në tabelë.

Funksioni i dendësisë së probabilitetit

Funksioni i dendësisë së probabilitetit (FDP) i shpërndarjes hi-katrore është

f (x; k) = {\begin{matrix} \frac{x^{k / 2 - 1} e^{- x / 2}}{2^{k / 2} Γ (\frac{k}{2})}, & x > 0; \\ 0, & përndryshe . \end{matrix}

ku $Γ (k / 2)$ tregon funksionin gama, i cili ka vlera të formës së mbyllur për numrin e plotë <span about="#mwt180" class="mwe-math-element" data-mw="{"name":"math","attrs":{},"body":{"extsrc":"k"}}" id="7" typeof="mw:Extension/math"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>k</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle k}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="k" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" data-cx="{"adapted":false}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.211ex; height:2.176ex;"></span> .

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Chernoff i kufizuar për FMP dhe bishtin (1-FMP) të një ndryshoreje të rastit hi-katrore me dhjetë shkallë lirie ( $k = 10$ )

Funksioni i tij mbledhës i shpërndarjes është:

F (x; k) = \frac{γ (\frac{k}{2}, \frac{x}{2})}{Γ (\frac{k}{2})} = P (\frac{k}{2}, \frac{x}{2}),

ku $γ (s, t)$ është funksioni më i ulët i gama jo i plotë dhe $P (s, t)$ është funksioni gama i rregulluar .

Në një rast të veçantë të $k = 2$ Ky funksion ka formën e thjeshtë:

F (x; 2) = 1 - e^{- x / 2}

Vetitë

Teorema e Koçranit

Nëse $Z_{1}, . . ., Z_{n}$ janë n.r të pavarura të shpërndara në mënyrë identike (iid), standarde normale, atëherë $\sum_{t = 1}^{n} (Z_{t} - \bar{Z})^{2} \sim χ_{n - 1}^{2}$ ku $\bar{Z} = \frac{1}{n} \sum_{t = 1}^{n} Z_{t} .$

Mbledhja

Nga përkufizimi i shpërndarjes hi-katrore rezulton se shuma e ndryshoreve të pavarura hi-katrore është gjithashtu e shpërndarë sipas ligjit hi-katror. Konkretisht, nëse $X_{i}, i = \overline{1, n}$ janë ndryshore të pavarura hi-katror me $k_{i}$ , $i = \overline{1, n}$ shkallët e lirisë, përkatësisht, atëherë $Y = X_{1} + \dots + X_{n}$ është hii-katror i shpërndarë me $k_{1} + \dots + k_{n}$ shkallë lirie.

Mesatarja e kampionit

Mesatarja e kampionit së $n$ iid ndryshoreve hi-katror me $k$ shkallë lirie shpërndahet sipas një shpërndarjeje gama me formë $α$ dhe shkallë $θ$ parametrat:

\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \sim Gamma (α = n k / 2, θ = 2 / n) ku X_{i} \sim χ^{2} (k)

Në mënyrë asimptotike, duke pasur parasysh se për një parametër shkallë $α$ duke shkuar në pafundësi, një shpërndarje Gama konvergjon drejt një shpërndarjeje normale me pritje $μ = α \cdot θ$ dhe variancë $σ^{2} = α θ^{2}$ , mesatarja e kampionit konvergjon drejt:

$\overline{X} \overset{n \to \infty}{\to} N (μ = k, σ^{2} = 2 k / n)$

Përqendrimi

Shpërndarja hi-katrore shfaq përqendrim të fortë rreth mesatares së saj. Kufijtë standardë të Laurent-Massart ^[7] janë:

P (X - k \geq 2 \sqrt{k x} + 2 x) \leq \exp (- x)

P (k - X \geq 2 \sqrt{k x}) \leq \exp (- x)

Vetitë asimptotike

Nga teoremën qëndrore limite, meqenëse shpërndarja hi-katrore është shuma e $k$ variabla të rastit të pavarura me mesatare dhe variancë të fundme, ajo konvergjon në një shpërndarje normale për të mëdha $k$ . Për shumë qëllime praktike, për $k > 50$ shpërndarja është mjaft e afërt me një shpërndarje normale, kështu që ndryshimi është i papërfillshëm. ^[8] Konkretisht, nëse $X \sim χ^{2} (k)$ , atëherë si $k$ priret drejt pafundësisë, shpërndarja e $(X - k) / \sqrt{2 k}$ priret drejt një shpërndarje normale standarde. Megjithatë, konvergjenca është e ngadaltë siç është edhe anësia $\sqrt{8 / k}$ dhe kurtoza e tepërt është $12 / k$ .

Shpërndarja e kampionit të $\ln (χ^{2})$ konvergjon në normalitet shumë më shpejt se shpërndarja e kampionit të $χ^{2}$ , ^[9] pasi transformimi logaritmik heq shumë nga asimetria. ^[10]

Funksionet e tjera të shpërndarjes hi-katror konvergjojnë më shpejt në një shpërndarje normale. Disa shembuj janë:

Nëse $X \sim χ^{2} (k)$ atëherë $\sqrt{2 X}$ shpërndahet përafërsisht normalisht me mesatare $\sqrt{2 k - 1}$ dhe variancë njësi (1922, nga RA Fisher, shih (18.23), f. 426 i Johnson. ^[2]
Nëse X∼χ2(k) atëherë X/k3 shpërndahet përafërsisht normalisht me mesatare 1−29k dhe variancë 29k. ^[11] Ky njihet si transformimi Wilson–Hilferty, shih (18.24), f. 426 i Johnson. ^[2]
- Ky transformim normalizues çon drejtpërdrejt në përafrimin mesatar të përdorur zakonisht $k (1 - \frac{2}{9 k})^{3}$ duke u kthyer prapa nga mesatarja, e cila është edhe mediana, e shpërndarjes normale.

Shpërndarjet e ndërlidhura

Kur $k \to \infty$ , $(χ_{k}^{2} - k) / \sqrt{2 k} \overset{d}{\to} N (0, 1)$ ( shpërndarje normale )
$χ_{k}^{2} \sim {χ^{'}}_{k}^{2} (0)$ ( Shpërndarja joqendrore hi-katrore me parametër joqëndror $λ = 0$ )
Nëse $Y \sim F (ν_{1}, ν_{2})$ atëherë $X = \lim_{ν_{2} \to \infty} ν_{1} Y$ ka shpërndarje hi-katror $χ_{ν_{1}}^{2}$

Si një rast i veçantë, nëse $Y \sim F (1, ν_{2})$ atëherë $X = \lim_{ν_{2} \to \infty} Y$ ka shpërndarje hi-katror $χ_{1}^{2}$

$‖ 𝑵_{i = 1, \dots, k} (0, 1) ‖^{2} \sim χ_{k}^{2}$ ( Norma në katror e k ndryshoreve të rastit standarde të shpërndara normalisht është një shpërndarje hi-katrore me k shkallë lirie )
Nëse $X \sim χ_{ν}^{2}$ dhe $c > 0$ , atëherë $c X \sim Γ (k = ν / 2, θ = 2 c)$ . ( shpërndarja gama )
Nëse $X \sim χ_{k}^{2}$ atëherë $\sqrt{X} \sim χ_{k}$ ( shpërndarja hi )
Nëse $X \sim χ_{2}^{2}$ , atëherë $X \sim Exp (1 / 2)$ është një shpërndarje eksponenciale .
Nëse $X \sim χ_{2 k}^{2}$ , atëherë $X \sim Erlang (k, 1 / 2)$ është një shpërndarje Erlang .
Nëse $X \sim Erlang (k, λ)$ , atëherë $2 λ X \sim χ_{2 k}^{2}$
Nëse $X \sim Rayleigh (1)$ ( Shpërndarja Rayleigh ) atëherë $X^{2} \sim χ_{2}^{2}$
Nëse $X \sim Maxwell (1)$ ( Shpërndarja Maxwell ) atëherë $X^{2} \sim χ_{3}^{2}$
Nëse $X \sim χ_{ν}^{2}$ atëherë $\frac{1}{X} \sim Inv- χ_{ν}^{2}$ ( Shpërndarja inverse-hi-katrore )
Shpërndarja hi-katrore është një rast i veçantë i shpërndarjes Pearson të tipit III
Nëse $X \sim χ_{ν_{1}}^{2}$ dhe $Y \sim χ_{ν_{2}}^{2}$ janë të pavarur atëherë $\frac{X}{X + Y} \sim Beta (\frac{ν_{1}}{2}, \frac{ν_{2}}{2})$ ( shpërndarja beta )
Nëse $X \sim U (0, 1)$ ( shpërndarje uniforme ) atëherë $- 2 \log (X) \sim χ_{2}^{2}$
Nëse $X_{i} \sim Laplace (μ, β)$ atëherë $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2 | X_{i} - μ |}{β} \sim χ_{2 n}^{2}$
Nëse $X_{i}$ ndjek shpërndarjen normale të përgjithësuar (lloji 1) me parametra $μ, α, β$ atëherë $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2 | X_{i} - μ |^{β}}{α} \sim χ_{2 n / β}^{2}$ ^[12]
Shpërndarja hi-katrore është një transformim i shpërndarjes Pareto
Shpërndarja e studentit është një transformim i shpërndarjes hi-katrore
Shpërndarja e studentit mund të merret nga shpërndarja hi-katror dhe shpërndarja normale
Shpërndarja joqendrore beta mund të merret si një transformim i shpërndarjes hi-katror dhe shpërndarjes joqendrore hi-katrore
Shpërndarja joqendrore t mund të merret nga shpërndarja normale dhe shpërndarja hi-katrore

Një ndryshore hi-katror me $k$ shkallët lirie përkufizohet si shuma e katrorëve të $k$ ndryshoreve rasti të pavarura standarde normale.

Shpërndarja hi-katrore është gjithashtu e lidhur natyrshëm me shpërndarjet e tjera që dalin nga shpërndarja gausiane. Veçanërisht,

$Y$ është i shpërndarë sipas F, $Y \sim F (k_{1}, k_{2})$ nëse $Y = \frac{X_{1} / k_{1}}{X_{2} / k_{2}}$ , ku $X_{1} \sim χ_{k_{1}}^{2}$ dhe $X_{2} \sim χ_{k_{2}}^{2}$ janë statistikisht të pavarura.
Nëse $X_{1} \sim χ_{k_{1}}^{2}$ dhe $X_{2} \sim χ_{k_{2}}^{2}$ janë statistikisht të pavarura atëherë $X_{1} + X_{2} \sim χ_{k_{1} + k_{2}}^{2}$ . Nëse $X_{1}$ dhe $X_{2}$ nuk janë të pavarura atëherë $X_{1} + X_{2}$ nuk shpërndahet sipas hi-katror.

Metodat llogaritëse

Shkallët e lirisë (shl)	$χ^{2}$ vlera ^[13]
1	0,004	0.02	0.06	0.15	0.46	1.07	1.64	2.71	3.84	6.63	10.83
2	0.10	0.21	0.45	0.71	1.39	2.41	3.22	4.61	5.99	9.21	13.82
3	0.35	0,58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7.81	11.34	16.27
4	0.71	1.06	1.65	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07	18.48	24.32
8	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
10	3.94	4.87	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59
p -vlera (probabiliteti)	0,95	0,90	0.80	0.70	0.50	0.30	0.20	0.10	0.05	0.01	0.001

↑ NIST (2006).
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 Stampa:Cite book
↑ Stampa:Cite book
↑ Stampa:Cite book
↑ Stampa:Cite journal
↑ Stampa:Citation
↑ Stampa:Cite journal
↑ Stampa:Cite book
↑ Stampa:Cite journal
↑ Stampa:Cite journal
↑ Stampa:Cite journal
↑ Stampa:Cite journal
↑ Chi-Squared Test Stampa:Webarchive Table B.2.

[1] NIST (2006).

[Johnson_et_al-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 Stampa:Cite book

[3] Stampa:Cite book

[Westfall2013-4] Stampa:Cite book

[Ramsey1988-5] Stampa:Cite journal

[Lancaster1969-6] Stampa:Citation

[7] Stampa:Cite journal

[8] Stampa:Cite book

[9] Stampa:Cite journal

[Pillai-2016-10] Stampa:Cite journal

[11] Stampa:Cite journal

[12] Stampa:Cite journal

[13] Chi-Squared Test Stampa:Webarchive Table B.2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Shpërndarja hi katror

Përmbajtjet

Përkufizimet

Paraqitje

Funksioni i dendësisë së probabilitetit

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Vetitë

Teorema e Koçranit

Mbledhja

Mesatarja e kampionit

Përqendrimi

Vetitë asimptotike

Shpërndarjet e ndërlidhura

Metodat llogaritëse

Menuja e navigimit

Shpërndarja hi katror

Përkufizimet

Paraqitje

Funksioni i dendësisë së probabilitetit

Funksioni mbledhës i shpërndarjes

Vetitë

Teorema e Koçranit

Mbledhja

Mesatarja e kampionit

Përqendrimi

Vetitë asimptotike

Shpërndarjet e ndërlidhura

Metodat llogaritëse

Menuja e navigimit

Kërko