Funksioni drejtkëndor

Funksioni drejtkëndor me a = 1

Funksioni drejtkëndor (i njohur gjithashtu si funksioni i drejtë, funksioni i portës ose pulsi i njësisë) përcaktohet në mënyrë të tillë që:

$$\mathrm{rect}\left(\frac{t}{a}\right)=\mathrm{\Pi }\left(\frac{t}{a}\right)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }|t|>\frac{a}{2}\\ \frac{1}{2},& \text{if }|t|=\frac{a}{2}\\ 1,& \text{if }|t|<\frac{a}{2}.\end{array}$$

Përkufizimet alternative të funksionit përcaktojnë $\mathrm{rect}(\pm \frac{1}{2})$ të jetë 0, 1, ose e papërcaktuar.

Versioni i tij periodik quhet valë drejtkëndore .

Transformimi Furier i funksionit drejtkëndor

Grafiku i normalizuar $\mathrm{sinc}(x)$ funksioni (dmth $\mathrm{sinc}(\pi x)$ ) me përbërësit e tij të frekuencës spektrale.

Transformimet unitare të Furierit të funksionit drejtkëndor janë $$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i2\pi ft}dt=\frac{\sin (\pi f)}{\pi f}={\mathrm{sinc}}_{\pi }(f),$$ duke përdorur frekuencën e zakonshme f, ku <span about="#mwt80" class="mwe-math-element" data-mw="{&quot;name&quot;:&quot;math&quot;,&quot;attrs&quot;:{},&quot;body&quot;:{&quot;extsrc&quot;:&quot;\\operatorname{sinc}_\\pi&quot;}}" id="15" typeof="mw:Extension/math"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <msub> <mi>sinc</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mi>π</mi> </mrow> </msub> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {sinc} _{\pi }}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="{\displaystyle \operatorname {sinc} _{\pi }}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e16b853b0c49d919aa5088d75df5dc9386c2f9" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.062ex; height:2.509ex;"></span> është forma e normalizuar e funksionit sinc dhe $$\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{rect}(t)\cdot e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\cdot \frac{\sin (\omega /2)}{\omega /2}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\mathrm{sinc}(\omega /2),$$ duke përdorur frekuencën këndore $\omega$, ku <span about="#mwt86" class="mwe-math-element" data-mw="{&quot;name&quot;:&quot;math&quot;,&quot;attrs&quot;:{},&quot;body&quot;:{&quot;extsrc&quot;:&quot;\\operatorname{sinc}&quot;}}" id="27" typeof="mw:Extension/math"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi>sinc</mi> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \operatorname {sinc} }</annotation> </semantics> </math></span><img alt="{\displaystyle \operatorname {sinc} }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876707323d2d558232894c2c9e776a93a1206ade" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.888ex; height:2.176ex;"></span> është forma e panormalizuar e funksionit sinc .

Për $\mathrm{rect}(x/a)$, TF i tij është $$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{rect}\left(\frac{t}{a}\right)\cdot e^{-i2\pi ft}dt=a\frac{\sin (\pi af)}{\pi af}=a{\mathrm{sinc}}_{\pi }(af).$$ Vini re se për sa kohë që përkufizimi i funksionit të pulsit motivohet vetëm nga sjellja e tij në përvojën e rrafshit të kohës, nuk ka asnjë arsye për të besuar se funksioni i TF duhet të jetë intuitiv, ose i kuptuar drejtpërdrejt nga njerëzit . Megjithatë, disa aspekte të rezultatit teorik mund të kuptohen në mënyrë intuitive, pasi jopafundësia në rrafshin e kohës përkon me një përgjigje të frekuencës së pafundme. (E anasjelltas, një transformim i fundmë Furier do t'i korrespondojë përgjigjes së domenit kohor të pafund)

Përdorimi në probabilitetit

Duke parë funksionin drejtkëndor si FDP, është një rast i veçantë i shpërndarjes uniforme të vazhdueshme me $a=-1/2,b=1/2.$ Funksioni karakteristik është

$$\phi (k)=\frac{\sin (k/2)}{k/2},$$

dhe funksioni i tij gjenerues i momentit është

$$M(k)=\frac{\sinh (k/2)}{k/2},$$

ku $\sinh (t)$ është funksioni i sinusit hiperbolik .

Funksioni delta i Dirakut

Funksioni drejtkëndësh mund të përdoret për të përfaqësuar funksionin delta të Dirac $\delta (x)$ . Konkretisht, $$\delta (x)=\underset{a\to 0}{\lim }\frac{1}{a}\mathrm{rect}\left(\frac{x}{a}\right).$$