Shpërndarja e qëndrueshme

Në teorinë e probabilitetit, një shpërndarje quhet e qëndrueshme nëse një kombinim linear i dy ndryshoreve të rastit të pavarura me këtë shpërndarje ka të njëjtën shpërndarje, deri në parametrat e vendndodhjes dhe shkallës . Një ndryshore e rastit quhet e qëndrueshme nëse shpërndarja e saj është e qëndrueshme. Familja e shpërndarjeve të qëndrueshme nganjëherë quhet edhe shpërndarja alfa-stabile Lévy, pas Paul Lévy, matematikani i parë që e ka studiuar atë.

E ç'është shpërndarja e qëndrueshme?

Një shpërndarje jo e degjeneruar është një shpërndarje e qëndrueshme nëse plotëson vetinë e mëposhtme:Stampa:Block indent

Meqenëse shpërndarja normale, shpërndarja Cauchy dhe shpërndarja Lévy të gjitha e kanë vetinë e mësipërme, rrjedh se ato janë raste të veçanta të shpërndarjeve të qëndrueshme.

Funksioni karakteristik $\phi (t)$ i çdo shpërndarje probabiliteti është transformimi Furier i funksionit të dëndësisë së probabilitetit të tij $f(x)$ . Prandaj, funksioni i dëndësisë është transformimi i anasjelltë i Furierit i funksionit karakteristik: $$f(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\phi (t)e^{-ixt}dt.$$Megjithëse funksioni i dëndësisë së probabilitetit për një shpërndarje të përgjithshme të qëndrueshme nuk mund të shkruhet në mënyrë analitike, funksioni i përgjithshëm karakteristik mund të shprehet në mënyrë analitike. Një ndryshore e rastit $X$ quhet e qëndrueshme nëse funksioni i saj karakteristik mund të shkruhet si $$\phi (t;\alpha ,\beta ,c,\mu )=\exp (it\mu -|ct{|}^{\alpha }(1-i\beta \mathrm{sgn}(t)\mathrm{\Phi }))$$ku $\mathrm{sgn}(t)$ është vetëm shenja e t dhe$$\mathrm{\Phi }=\{\begin{array}{cc}\tan \left(\frac{\pi \alpha }{2}\right)& \alpha \ne 1\\ -\frac{2}{\pi }\log |t|& \alpha =1\end{array}$$μ ∈ R është një parametër zhvendosjeje, $\beta \in [-1,1]$, i quajtur parametri i anshmërisë, është një masë e asimetrisë. Vini re se në këtë kontekst anshmëria e zakonshme nuk është e përcaktuar mirë, si për $\alpha <2$ shpërndarja nuk pranon momentet e 2-të ose më të larta, dhe përkufizimi i zakonshëm i anshmërisë është momenti i tretë qendror .

Vetitë

• Të gjitha shpërndarjet e qëndrueshme janë pafundësisht të pjestueshme .
• Me përjashtim të shpërndarjes normale ( $\alpha =2$ ), shpërndarjet e qëndrueshme janë shpërndarje leptokurtotike dhe me bisht të rëndë.
• Mbyllja nën konvolucion